环境流体力学第二章分子扩散.ppt

第二章 分子扩散,静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的著名实验证实。分子运动称为布朗运动,除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一原因外，它还存在于一切流动的水体中。,第一节 费克定律,一、费克定律,费克（Fick）扩散（分子扩散）：由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散,第三节 费克定律,费克定律：1855年德国生理学家费克（Fick）提出静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。,式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量；C是扩散物质的浓度。:x方向的浓度梯度。D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为L2T-1 一般约为10-610-5cm2s-1。,用等号,一维费克扩散示意图,对一维扩散，费克定律可表示为：,费克定律第一定律,第三节 费克定律,公式中的负号,三维的费克定律:,哈密顿算子,说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散,费克定律第二定律,一滴红墨水在玻璃杯中的扩散,分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温度和压力有关。,第三节 费克定律,某些物质在水中的分子扩散系数（cm2s-1，水温为20）,D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。,第三节 费克定律,单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t)从(x+x)面出去的通量为:,设c(x,t)是时刻t位于x处上扩散质（溶质）的浓度。在该控制体积内扩散质对时间的变化率为：,第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）,一维为例,第四节 分子扩散方程,一维输移的控制体：两个具有单位面积的平行面与x轴垂直,变化量：,根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:,Fick定律：,如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。,二阶线性抛物型偏微分方程,第四节 分子扩散方程,推广到三维：故有,用直角坐标表示,时变项,分子扩散项,扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现,第四节 分子扩散方程,Fick定律：,在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。,在扩散特性各向异性的液体中,第三节 一维扩散方程的基本解,&扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。&解的形式：解析解、数值解。&污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。&污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）。&瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。&连续源又分为恒定和非恒定源。&污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方程。,第五节 一维扩散方程的基本解,第三节 一维扩散方程的基本解,第五节 一维扩散方程的基本解,集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，这是扩散方程的最基本的解。是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条件下的解。,第三节 一维扩散方程的基本解,第五节 一维扩散方程的基本解,瞬时单位平面源的扩散瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液3、染液薄片充满了整个断面4、染料只沿长度方向扩散令染液投入点为坐标原点,瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：,c(x,0)=M(x),狄拉克（Dirac）函数,当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间,（2）边界条件：,c(,t)=0,c(,t)/x=0,（1）初始条件：,一维分子扩散方程：,1.定解条件,第五节 一维扩散方程的基本解,M(x)表示质量M集中于微小容积内。相对概念。例如把一小桶颜色水倾注到大河里，可以认为起始浓度集中于微小体积内。,物理含义：,2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法,量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。,定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物理过程可以由(k+1)-m个无量纲数所组成的关系来描述。,第五节 一维扩散方程的基本解,式中:f为待定函数，在上式中写上4和4，目的是使最终的解较为简明;M是全部污染物的质量，量纲是M,假设有函数：F(c,M,D,x,t)=0 方程线性,利用定律，选c、D、t为基本变量，可得：,从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数,第五节 一维扩散方程的基本解,一维 扩散中，浓度的量纲 ML-1,浓度c应与M除以某一特征长度成正比。是一个合适的特征长度,进一步令，有:,。,边界条件由原来的c(,t)=0,c(,t)/x=0,f()=0，df()/dh=0,以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:,第五节 一维扩散方程的基本解,设变量,进一步令，有:,即=常数k1,因此有：,它的通解为：,确定待定函数f,为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）,根据污染物质的质量守恒定律，有,对上式分别通过求t0、x0和t0（x0）的极限，可得到c=和c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对x0的定解条件求解，但也可用于x0情形。,推出k0=1,第五节 一维扩散方程的基本解,瞬时点源一维无界空间的浓度分布,瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻t沿x轴是正态分布，随时间t的增加，浓度的峰值Cm变小，而扩散的范围变宽，分布曲线趋于平坦。,第五节 一维扩散方程的基本解,浓度分布符合正态分布（即高斯分布）,污染源点和坐标原点重合的情况,1、浓度对距离的各阶矩定义,零阶矩,一阶矩,二阶矩,对原点的任意p阶矩,对瞬时点源来说，零阶矩 M0=全部扩散质的质量，对任意时刻M0是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。,各式的右端可供当具有实验资料时，计算浓度各阶矩之用。,第四节 浓度分布的各阶矩,第六节 浓度分布的各阶矩,2、浓度分布的统计特征值（1）浓度分布的距离均值（数学期望）,表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。,（2）浓度分布的距离方差2,表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大，分布曲线愈平坦。,第六节 浓度分布的各阶矩,质量中心坐标x,对于正态分布曲线（标准）有：,将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：,对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：,或,仍存在,上式表明 方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为费克型扩散。,第六节 浓度分布的各阶矩,曲线的分布区间-2,2,占总面积的95%,源与坐标原点不重合,源与坐标原点重合,m-2s,m+2s,证明此结论,（3）三阶中心矩,表示曲线偏斜度：=0 左右对称;正态分布 0左右不对称，长尾伸向正轴方向；0，长尾伸向负轴方向。,=0,0,0,图 对浓度分布图形的影响,第六节 浓度分布的各阶矩,偏态系数,（4）四阶中心矩,表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰型愈大。,第六节 浓度分布的各阶矩,2、对静止和动水环境中射流的一些基本原理、基本规律的研究现状。,源与坐标原点重合时，浓度曲线的分布区间-2s,2s范围内，分布曲线与x轴所围面积占总面积的95%。,1、证明此结论,作业,第五节 一维扩散方程的若干定解条件下的解,设只当t=0时在x=处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：c(x,0)=M(x-)边界条件：c(,t)=0,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,如果示综物质M不是集中到一处，而是非均匀地分布在一定范围上同时瞬时投放，这就是瞬时投放源，这种情况可考虑为若干个瞬时集中源的迭加，按迭加原理求解。,现将初始条件改为：c(x,0)=f(x),-x 其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为f()，d微小长度上投放示踪质的质量为M=f()d。,位于处由该微小污染单元的扩散而导致在时刻t位于x的浓度应为:,用一系列质量为f()d的团块来求浓度分布,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,下面讨论f()为常数的两种特殊情况：,单侧阶梯浓度函数的浓度分布,1.当f(x)为阶梯函数：,该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面管（渠）的静水中，左端（x0）为清水，现闸门突然打开，左边的污染物质向右边扩散。解的形式为：,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,t=0时,取变换,式中：erf(z)为z的误差函数，erfc(z)为z的余误差函数，即,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,误差函数的值可查误差函数数值表或计算软件得到,误差函数的定义:,从而有：,余误差函数的定义:,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,000,误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,取变换=x-,有,该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠（管）的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：,2.当f(x)为阶梯函数：,x=0,x=x1,x=-x1,初始浓度分布图,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,再取变换,有,t=0时,双侧阶梯浓度函数的浓度分布,第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解,随着 增大，浓度分布曲线愈平坦化。,第六节 一维扩散方程的时间连续源的解析解,一、时间连续点源,在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为c0（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。,如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点，初始条件c(0,t)=c0 在x=0处浓度突然从零增加到c0，以后保持不变，无限边界条件c(,0)=0 初瞬时t=0，沿x轴各处的浓度均为零 本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些问题的解。,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,1、点源处给定投放浓度,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,边界条件为f(0)=1,f()=0,显然有c(-x,t)=c(x,t),解对称于原点，只需沿x正向求解。,借助量纲分析法来求解浓度分布c(x,t)显然，c与c0,D,x和t有关，利用定理,选 c、D和t为基本变量，可得如下关系式：,式中：f是某一待确定的函数。令,有,二阶变系数齐次常微分方程,代入扩散方程,等强度连续点源的浓度分布,1、点源处给定投放浓度问题的解,在任一时刻t总的浓度是t以前全部时段内浓度分布的总和，由上式通过积分可得的解：,用于求解浓度c0(t)的迭加法,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,更一般的情形是c0不是常数，即不是时间连续恒定点源。而是c0随时间t而变，即c0=c0(t)。则可以看作无数不同强度的瞬时源产生的扩散在时间上扩散的结果。当时间增加dt，位于x=0处的浓度增量为，由于浓度增量的关系，相应的扩散结果可借助上式表示为:,由于是时间连续点源，故可得,如果 为常数，上式变为,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,以下讨论在x=0处，给定单位时间投入的污染物质量的速度(简称质量投放率)，即在dt时间投放质量为。此时，根据瞬时点源的解式可得在瞬时t投放质量 的浓度场：,2、点源处给定投放质量,第六节 一维扩散方程时间连续源的解析解,时间连续点源的浓度分布,污染的范围和浓度均随时间的增加而增大,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,通过数值积分进行计算,二、时间连续线源,第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解,全部分布连续源一维扩散产生的浓度应将上式几分二次成为,如果连续源不集中在原点，而是分布在沿x轴一定范围如a x1 b之上，则加入的扩散质最一般的情况是时间和空间的函数，设f(x,t)为在单位时间内单位体积上投放的污染物质质量，在x=x处dx上，于时刻t在dt时间内加入扩散质的量为dM=f(x,t)dxdt，一维扩散经时间(t-t)在x处得浓度为：,第七节 有界一维扩散和叠加方法,以上讨论的全是无限空间的扩散，实际河渠或水库湖泊都有岸和底存在，污染物质在河渠、水库中扩散至边界时，有两种可能，一种是扩散物质到达边界后被边界吸收或粘结在边界上，称为完全吸收；另外一种情况是遇到边界就反射回去，称为完全反射。介于两种状态之间的为不完全吸收和不完全反射，这在实际中居多。显然，吸收和反射与污染物性质和边界的性质有关。当然，最不利的情况是发生完全反射。如果天然河岸是土壤，就不能看做是最不利的情况。下面仅研究完全反射的情况。,第九节 有界一维扩散和叠加方法,讨论最简单的情况：当t=0时，在x=0处与x轴垂直的单位面积上，投放的污染物质量为M。在正方向的边界为无穷远，但在x=-L处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩散物质（完全反射），则任意时刻通过该岸壁的示踪量的净通量为零。,第七节 有界一维扩散和叠加方法,对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。,假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。,一、一边反射的瞬时点源情形,边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到:,初始条件：,第九节 有界一维扩散和叠加方法,第九节 有界一维扩散和叠加方法,一边侧壁的像源法,像源法：,设想有一平面镜位于固体边界处，在平面镜后面有一反射源（又称像源），反射源到真源的距离x=-2L，像源的强度与真源的强度相同，标准差也相同，因而像源在边界上的通量与真源在边界上的通量大小相等，方向相反，故形成边界上扩散物质的通量为零。,第九节 有界一维扩散和叠加方法,一边侧壁的像源法,真源与像源相距为2L，在x轴上任意点的浓度应该为由像源和真实源各自产生的浓度之和，即,第九节 有界一维扩散和叠加方法,一边侧壁的像源法,对于完全反射的边界，在反射壁边界处的浓度等于不存在该壁时的两倍。,当x=-L时（即固体边界上），其浓度为,二、两边反射的瞬时点源情形,在x=-L和x=L均有完全反射壁：,无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解：,两面侧壁的像源法,第九节 有界一维扩散和叠加方法,在x=-2L的像源的扩散又会在x=L处产生一个正的浓度梯度，需要在x=4L处放一个像源。,在岸壁处，即在x=L处要求浓度为零，在x=2L处必须放置强度为负值的瞬时源，在x=4L处放置强度为正值的瞬时源，如此类推。完整解为,第九节 有界一维扩散和叠加方法,另一种边界条件,在实际问题中，因河流较宽，L比较大，一般只考虑一、两次反射就可以满足实际需要，如n=0,1，2。,第八节 二维和三维扩散方程的解析解,一、瞬时点源,二维扩散方程为：,上式中的Dx和Dy分别为x和y方向的扩散系数，虽然在分子扩散中，Dx=Dy=D，但因为我们将来可以借用该方程的解来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以在这里以DxDy进行讨论。,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,c(x,y,0)=M(x)(y),（2）边界条件：,c(,y,t)=0,c(,t)/x=0c(x,t)=0,c(,t)/y=0,（1）初始条件：,上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从而得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。,利用“乘积法则”求解：则本问题的解可以表为,c(x,y,t)=c1(x,t)c2(y,t),式中c1不依赖于y,c2不依赖于x，代入扩散方程，故有,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,当Dx=Dy=D时，上式变为：,在z轴上单位面积上的质量,对于一维扩散，浓度c的单位是单位长度的质量；对于二维扩散它是单位面积上的质量；对于三维扩散则是单位体积内的质量。,可将“乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。三维扩散方程为：,当Dx=Dy=Dz=D时，r2=x2+y2+z2,有,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,r是自点源起算的距离。在 处上式指数为0.01，即这里的浓度等于原点瞬时浓度值的百分之一。,初始条件：,c(x,y,z0)=M(x)(y)(z),二、瞬时无限长线源,瞬时无限长线源情形,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位长度瞬时投放质量为mz所构成的，mz的量纲为ML-1。对于一个沿z轴分布的无限长线源来讲，根据三维瞬时点源的解可得由于h处的点源mzdh所产生的P点（x,y,z）处的浓度为,与瞬时点源的二维情形相同,无限长线源h积分从负无穷到正无穷,令,变更上下限,其解可由瞬时点源的解迭加得到,单位面积瞬时引入质量为m,对在yz平面上的一个平面源来讲，由位于x处沿z方向单位宽度上质量mz=mdx的无限长线源在P点（x,y,z）处产生的浓度：,三、瞬时无限平面源,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,于是由无限平面源在P点处产生的浓度为：,当Dx=Dy=Dz=D时，有,瞬时无限平面源情形,瞬时无限平面的分子扩散只沿与该平面垂直的方向进行，是一维扩散一维扩散问题中，点源就是无限平面源。,设在坐标原点处（x=y=z=0），单位时间内投放的污染物质量为M（常数）。在dt的微小时间内，投放质量为M dt，将每一个M dt看作是一个瞬时点源，借助瞬时点源的解在瞬时投入质量M dt的浓度场:,四、三维时间连续恒定点源,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,由于时间连续源，可对上式对时间进行积分，有,当t=0，有,当t=t，有u=,当Dx=Dy=Dz=D时，上式简化为:,第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解,第九节 随机游动法(Random walk),在以上各节中，是用欧拉（Euler）的观点和确定性的数学方法来确究费克扩散的。但是，也可以采用拉格朗日的观点，跟踪污染物质点的不规则运动，以及采用概率统计的方法来进行研究。,第十一节 随机游动法,进一步考虑有大量污染物质点当t=0在位置 处释放，于是，当时刻t在位置 处的浓度可表示为：,污染物质点由于受到分子运动的作用而作不规则的运动:,第十一节 随机游动法,质点的位移 是一个随机过程，该过程可以通过概率密度 表达:,某一质点当时刻t=0时处于位置当时刻t时则处于位置,根据大数定律，概率 可近似地由下式确定：,马尔可夫（Markow）链过程：由于受到液体分子碰撞，质点可能在时刻t落入某一指定的体积元，也可能不落入该体积元。而在每受一次碰撞之后，下一步走到什么位置，只是与当前的位置有关，而与前一个位置无关。也可以说，下一步处于某一位置的概率，只与质点位于当前位置的概率有关，而与质点位于前一个位置的概率无关，亦即质点的运动已失去历史的影响。,设P(x,t)为一个质点当某一时刻t位于某一位置x的概率,由全概率公式得到质点当时刻t位于x处的概率:,第十一节 随机游动法,质点的一维随机运动,第十一节 随机游动法,因为质点只有向左或向右运动的两种可能性，故有p1+p2=1，且p1=p2，因此上式右边的末项为零。进一步对上式取0和x0的极限，便有,以上的结果有一个重要的假设：质点运动符合马尔可夫过程,其中,