波动方程和能量1详解.ppt

1,第三节 振动合成,波动方程和波的能量,7-6 波动方程和波的能量,无色散介质 一维波动方程,综量是,的函数,解的形式：,当然包括,平面简谐波,介质中的波速,由,知,(2)不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；,(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；,(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程,说明,弦上横波,a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为,张力,线密度,细棒中纵波,杨氏模量：单位形变时单位面积受的力。,b.均匀细棒中，纵波的波速为：,c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：,d.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：,e.稀薄大气中的纵波波速为,(1)波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。,(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。,说明,f.电磁波传播速率,真空中,电磁波场分量,7,波动方程是线性的方程，从理论上保证了波动满足叠加原理；,如果y1和y2都是波动方程的解,将以上两式相加，得,是波动方程的解，是两列波的叠加。所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理,8,在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的形变是很小的。,9,二、波的能量,波源的能量随着波传播到波所到达的各处。,以平面简谐纵波为例，如图。取棒元x，质量为m=Sx,其动能,波函数为,振动速度,棒元的动能,波传到时棒元的应变,10,式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。,势能为,根据胡克定律,11,由波函数和波速 可得,棒元的总机械能,这与振动的情形是不同的，对于振动，系统的总机械能是恒定的。,12,讨论：,1.参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规律在随时间变化：,当某介质体元通过平衡位置时，形变和速度都达到最大，故势能和动能也都出现最大值；当达到最大位移时，形变和速度都为零，故势能和动能也都出现零值。即：,平衡位置时的总能量：,最大位置时的总能量：,13,2.还有一点需要指出的，这就是势能属于谁的问题。在波动中介质体元的势能是由介质体元自身的形变引起的，所以这份势能就应该属于形变体元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互作用着的各个物体，或者说，形变体元自身就是一个由相互作用的物体所组成的系统.,比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同,波动过程,振动过程,波动过程，某质元具有的能量w是时间t的周期函数,振动过程，质元总能量不变,传播能量,不传播能量,和 同相变化,最大时、为0,最大时、为0,15,三、波的能量密度和平均能量密度,1.波的能量密度,介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。,16,波的能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能量密度。,上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。,2.波的平均能量密度,17,四、波的能流和能流密度(energy flux density),单位时间内通过介质中某面积的能量，称为通过该面积的能流。,1.能流,2.平均能流,在一个周期内的平均值，称为通过该面的平均能流。,18,单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，也称波强度。,3.能流密度,五、波的吸收,波在介质中传播时，实际是衰减的，传播的越远，振幅越小，减小的能量转变为介质的热能。,设振幅的减小量为dA，则：,19,dx为传播的距离，A为dx处的振幅，为衰减系数,由该式知，振幅是指数性衰减的。,由于波的强度与振幅的平方成正比，所以平面波波强度的衰减规律为：,平面波和球面波的振幅,1.平面波,（不吸收能量）,由,得,这表明平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。,2.球面波,由,令,得,球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r 增大而减小。,则球面简谐波的波函数为,（A0为离原点（波源）单位距离处波的振幅）,22,例 有一点波源O发出球面波，设O点的振动方程为,半径为10m的波面上，某点a 的振动方程为：,(1)求此波的波长；,(2)求半径为25m的球形波面上任一点b 的振幅和振动方程。,解：(1)球面波的波动方程为,又,(2),25,小 结,一.平面简谐波的波函数,注意：1.如波线与x轴的方向一致，x 前取负号，否则取正号；,2.坐标原点的选取与波源的位置无关；,3.当x 一定时，波函数表示了距原点为x 处的质点在不同时刻的位移。即x 处质点的振动方程；,4.当t 一定时，波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位移分布情况；,5.当t 和x都变化时，波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况,26,二.平面波的波动方程,三、波的能量,当某介质体元通过平衡位置时，形变和速度都达到最大，故势能和动能也都出现最大值；当达到最大位移时，形变和速度都为零，故势能和动能也都出现零值。,27,四、波的能量密度和平均能量密度,1.波的能量密度,介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。,2.波的平均能量密度,28,五、波的能流和能流密度,1.能流,2.平均能流,3.能流密度,单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，也称波强度。,29,Wave interference,波 的 干 涉,30,一、波的干涉现象和规律,1.波的叠加原理,两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。,31,2.惠更斯原理,媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波面。,32,能够产生干涉现象的波，称为相干波。,激发相干波的波源，称为相干波源。,3.干涉现象,波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象,在两列波叠加的区域内，出现有些地方始终加强的，另一些地方始终减弱或完全抵消的现象干涉现象,33,（1）频率相同：若两列波的频率不同，则两者的相位差随时间变化，合振动的振幅也随时间变化，因而不可能观察到稳定的结果；,4.相干条件,A 随时间变化,（2）振动方向相同：若两列波的振动方向不同，则它们对于同一质点引起的振动不在一条直线上，合成的振动一般为平面振动，不产生加强或减弱；,如：两相互垂直振动的波,34,（3）相位差恒定：合振动的振幅要稳定，除了要求两列波的频率相同以外，还必须要求初位相差恒定，要达到初相位差恒定，必须要求两列波的波源稳定，而且传播介质的状况不变。,35,5.相干波的获得,分波面法和分振幅法,频率相同振动方向相同相位差恒定,36,设有两个相干波源S1和S2，其波源振动表达式,4.干涉分析,两列波传播到P点引起的振动为,37,P点的合振动为,y=y1+y2=A cos(t+),其中,讨论：,(1)干涉加强的条件：,A=A1+A2,38,（2）干涉减弱的条件：,A=A1A2,（3）若1=2，则有,干涉加强,干涉减弱,称为波程差。,39,（4）无论是干涉加强还是干涉减弱，该质点仍然是振动的，只是振幅不同而已。但是如果干涉相消，那么该质点是静止不动的。即：,（5）干涉现象不改变波的能量，只是改变空间的能量分布。干涉加强处能量增加，干涉减弱处能量减少。,二、驻 波(standing wave),当两列振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播时叠加而成的波称为驻波。,40,驻波形成图解,1 驻波的形成及特点,振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播,41,2 驻波的特点：,（1）驻波的波形不传播，只是幅度发生了变化 行波的波形传播，而幅度不发生变化；,（2）幅度在T的时间内，由平衡位置出发又恢复到平衡位置，即合成波的频率同两列波的频率相同；,（3）在波型上，有振动始终为0的几个点波节，两波节相距；,42,（4）在波型上，有振动始终处于最大值的几个点波腹，两波腹相距为；,（5）波型上各点的振幅是定值，只是不同点的振幅不同。各点都有相同的振动频率；,（6）两波节之间各点振动相位相同，即同时达到最大值，同时达到平衡位置；波节两旁的各点振动相位相反，一边达最大，一边达最小。,43,2.驻波分析,设有两列相干波，分别沿 x 轴正、负方向传播,表达式为,根据叠加原理，合成的波为,注意到三角函数关系,驻波方程,44,讨论：,（1）驻波各点的振幅是确定的，点不同，振幅不同，而行波各点具有相同的振幅；,（2）各点振动的相位与位置无关，只与时间有关，即波形不传播；,驻波方程,45,（3）波腹和波节的位置,振幅最大的位置：波腹，对应于,即,驻波方程,振幅为零的位置：波节，对应于,即,结论：凡是 偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节,46,（4）驻波的能量：,(a)质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且分布在波节附近；,(b)质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且分布在波腹附近；,（d）由于驻波是两列振幅相等，方向相反的两列行波合成的，故两列波的平均能流密度相等，方向相反，所以驻波的能流密度为零，即驻波不传播能量。,(c)其他时刻的能量是动能 势能的相互转化，并在波腹和波节之间往返集结;,47,（5）半波损失(half-wave loss),称媒质 1 为 波疏媒质；,媒质2,媒质 2 为 波密媒质。,媒质1,入射波从波疏介质进入波密介质时的反射波发生相位突变称为半波损失。,48,当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节.入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,49,当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,50,即讨论边界两侧波的振幅和相位关系,入射波 反射波 折射波的 振幅关系和相位关系,1.推导步骤波的表达式设：入射波、反射波、透射波表达式如下,注意，入射波在坐标原点（交界 x=0）处 初相 10,由边界条件给出关系由振动位移连续条件,由应力连续条件,再利用关系,有式,有式,关系式,2.相位关系方程右端是实数,反射波,透射波,注意到 入射波在界面的相位,从波疏向波密介质入射的反射波相位有的突变从波密向波疏介质入射的反射波相位不变,结论：在界面处透射波在任何情况下相位都不变（与入射波同）,形象说明：,3.振幅关系,4.光波情况,光从光疏介质入射光密介质反射光的电矢量在反射处相位有的突变通常称为半波损失,例1 已知入射波的表达式,写反射波的表达式。,若全反射,以b为参考点写反射波，b点的振动：,若波从波疏向波密介质入射b点振动为：,表示沿 x 负方向传播的波。,思考：若考虑透射波，试写出透射波表达式。,60,弦驻波演示实验,弦的驻波视觉现象示意,61,续上,62,续上,63,小 结,一、波的干涉现象和规律,1.干涉现象:在两列波叠加的区域内，出现有些地方始终加的，另一些地方始终减弱或完全抵消的现象.,2.相干条件:频率相同，振动方向相同，相位差恒定,64,两列波传播到P点引起的振动为,干涉分析,P点的合振动为,y=y1+y2=A cos(t+),A=A1+A2,A=A1A2,65,二、驻 波(standing wave),两列振幅相同、振动方向相同、频率相同、相位差恒定的两列波在同一直线上沿相反的方向传播时叠加而成的波,驻波方程,66,（1）驻波各点的振幅是确定的，点不同，振幅不同，而行波各点具有相同的振幅；,（2）各点振动的相位与位置无关，只与时间有关，即波形不传播；,（3）波腹和波节的位置,偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节,67,(a)质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且分布在波节附近；,(b)质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且分布在波腹附近；,(c)其他时刻的能量时动能 势能的相互转化，并在波腹和波节之间往返集结;,(d)驻波不传播能量。,（4）驻波的能量：,68,（5）半波损失(half-wave loss),当波由波疏介质向波密介质传播时，入射波与反射波存在半波损失；当波由波密介质向波疏介质传播时，入射波与反射波不存在半波损失；,69,例1：在同一介质中有两个相干波源分别处于点P和点Q，假设平面简谐波沿P到Q连线的方向传播。已知PQ=3.0 m。两波源的频率=100 Hz，振幅相等，P比Q的相位超前/2，波速u=400 ms1。在P、Q延长线上Q一侧有一点S，S到Q的距离为r，试写出两波源在该点产生的分振动，并求它们的合成。,解：取点P为坐标原点，建立如图所示的坐标系,由题意知,设 Q=0，则有 P=/2,P在点S 引起的振动为,70,Q在点S引起的振动为,两个分振动的相位差为,满足=(2k+1)的条件，点S的振动是干涉相消。,由于与r无关，所以在 x 轴上Q以右的区域都满足干涉相消条件，该区域的所有质点都是静止不动的。,71,例2 在同一介质中，两相干波源位于A、B两点，振幅相等，频率均为100Hz，相位差为，波速，求:(1)A、B之间连线上干涉相消各点的位置；(2)在B点外侧各点合成波的强度。,解：设A，B两点的振动方程分别为,(1)在AB之间任取一点 x，则 x 处的分振动,72,相位差：,若,则：,73,(2),说明：B点外的振动恒加强,74,解：（1）将 与标准形式波函数 对比，得,75,（2）入射波在反射点的振动方程为,由于反射处固定，有半波损失，故反射波在反射点的振动方程为,反射波在坐标原点的振动方程为,76,所以反射波的波动方程为：,（3）驻波方程,波节的位置,