概率论与数理统计第三章多维随机变量.ppt
概率论与数理 统计,主讲教师 陈 争,第3章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量及其分布,3.2 边缘分布,3.4 二维随机变量函数的分布（不讲）,3.3 随机变量的独立性,第3章 多维随机变量及其分布,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.,由它们构成的一个 n维向,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照.,是定义在 上的随机变量，,一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是,是=,设,量,叫做 n维随机向量或n维随机变量.,一、二维随机变量,设随机试验 E 的样本空间为,为定义在同一样本空间 上的两个随机变量，由它们构成的一个向量,称为二维随机向量或二维随机变量,3.1 二维随机变量及其分布,定义3.1,3.1 二维随机变量及其分布 一、二维随机变量,x、y，二元函数,1.联合分布函数,定义3.2,设(X,Y)是二维,随机变量，如果对于任意实数,称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称,(X,Y)的分布函数.,（3.1）,二、二维随机变量的分布函数,二、二维随机变量的分布函数,分布函数的函数值的几何解释：,将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，,那么，分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在下面左图所示的，以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷巨型域内的概率.,随机点(X,Y)落在矩形域,内的概率为,(1)对任意 x 及 y 有0F(x,y)1，且,对任意固定的y，,对任意固定的x，,分布函数 F(X,Y)有下面性质：,(2)F(x,y)是关于变量 x 和 y 的不减函数；,对任意固定的y，,当,对任意固定的x，,时，,当,时，,(3)关于 x 或 y 都是右连续的，即,(4)对任意的,有,例1 试问二元函数,能否成为某二维随机变量的联合分布函数？,此二元函数 F(x,y)具有二维随机变量联合,分布函数的基本性质(1)、(2)和(3)，但因,故F(x,y)不满足联合分布函数的基本性质(4).,解,所以，F(x,y)不能作为某二维随机变量的联合,分布函数.,为(X,Y)的联合概率分布，简称联合分布，也称,设(X,Y)的一切可能值为,称,若(X,Y)只取有限对或可数对实数,三、二维离散型随机变量,定义3.3,则称(X,Y)为离散型随机变量.,联合分布律.,（3.2）,1.联合概率分布,三、二维离散型随机变量,二维离散型随机变量(X,Y)的分布律具有性质：,k=1,2,也可用表格来表示随机变量 X 和Y 的联合分布.,例1.设(X,Y)的分布律如下表，求（1）,（2）,解（1）,X所有可能的取值为1,2；,Y所有可能的取值也是1,2.,用X=1,Y=1表示第一次取到号码为1的球，,不再放回，第二次又取到号码为1的球，由于1号球只,有一个，这是不可能的，所以,解,例2 袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X、Y分别记为第一、二取到球上的号码数，求(X,Y)的分布律(袋中各球被取到机会相同).,令X=1,Y=2表示第一次取到1号球，第二次取到,2号球，有,同理可得,分布律为：,例3 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.,(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),PX=0,Y=3,PX=1,Y=1,PX=2,Y=1,PX=3,Y=3,=3/8,=3/8,解,例4.设随机变量在1,2,3,4这4个整数中等可能地,取一个值，若的值取定时，另一个随机变量在,1等可能地取一个整数值。求（,）的分布律.,解 由于X=i,Y=j的取值情况是i=1,2,3,4,j取不大,于i的正整数，根据概率乘法公式得：,PX=i，Y=j=PX=iP Y=j|X=i=,于是，得（,）的分布律如下表,与一维随机变量的情形类似，有,式中的和式是对一切满足：,具体做起来比较麻烦，所以不作要求！,四、二维连续型随机变量,定义3.4,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数,F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)，使对于任意的,x,y有,则称(X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y)称为(X,Y),的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合概,率密度函数.,（3.3）,1.联合概率密度,X 的概率密度函数f(x)xR,一维连续型随机变量 X 的分布函数,性质：,2.(X,Y)的概率密度的性质:,（3）设D是xoy平面上的区域，点(X,Y)落入D内 的概率为,（4）在 f(x,y)的连续点,例5 设(X,Y)的概率密度是,求：（1）系数A；,（3）,（1）如图1所示，f(x,y)在阴影部分不为0，,其余均为0，由概率密度的性质（2），有,图1,解,由此得 A=6,（2）根据联合密度函数的性质（3）,当 x0 或 y0 时,故,当x0,y0时,（3）求联合分布函数,课外作业：,习题3-1,1,2,4,5,3.2 边缘分布与随机变量的独立性,定义3.5,边缘分布函数可以由联合分布函数来确定。,函数F(x,y),而X和Y作为一维随机变量也有分布,函数，将它们分别记为作 称,和 分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y,的边缘分布函数。,二维随机变量(X,Y)作为整体，具有分布,事实上，,同样，,一.二维离散型随机变量的边缘分布律,对于二维离散型随机变量(X,Y)，X和Y的联合分布律为：,且有,与一维离散型,随机变量X的分布函数 比较，,得的分布律为：,同样的分布律为：,1.边缘分布律,定义3.6,分别称和,记,为二维离散型随机变量(X,Y)关于和关于的边缘分布律.,也可用表格来表示随机变量 X 和Y 的边缘分布.,注意：由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.请看下例。,例 设袋中有2只白球，3只红球，现做无放回摸球，每次一球，连模两次，令,第二次摸到白球，第二次摸到红球，,试求二维随机变量(X,Y)的联合分布.,第一次摸到白球，第一次摸到红球，,解：显然（,）的可能取值为数组：,根据乘法公式得：,不放回摸球,（1）放回摸球,解,例2.若将例1改做放回摸球情况又如何？,例1与例2的结果表明，两种摸球方式下，(X,Y)具有,不同的联合分布，但它们相应的边缘分布却一样.,这一事实说明，虽然二维随机变量(X,Y)的联合分布,完全确定了它的两个边缘分布，但反过来，(X,Y)的,两个边缘分布却不能完全确定出(X,Y)的联合分布，,这正是必须将二维随机变量(X,Y)作为整体来研究的,理由.,当(X,Y)是离散型随机变量时，设其所有可能,值为,则X和Y相互独立的充分,必要条件为,容易证明，上例的放回摸球试验中的随机变量X与Y相互独立，而不放回摸球试验中的随机变量X与Y则不相互独立。,2.离散型随机变量的独立性,例3.从三张分别标有1，2，3号的卡片中任取,码大于X的卡片，从剩下的卡片中再任取一张，以Y,一张，以X记其号码，放回之后，拿掉三张卡片中号,记其号码，求随机变量(X,Y)的联合分布和边缘分布.,利用乘法公式，有,解,将计算结果列成表格，求得边缘分布.,因为,所以X与Y不独立,例4.已知随机变量,函数为f(x,y),二.二维连续型随机变量的边缘密度函数与变量的独立性,设(X,Y)为二维连续型随机变量，联合概率密度,X的边缘分布函数可表示为：,由分布函数和概率密度函数之间的关系可得，,称,为(X,Y)关于X的边缘概率密度函数，简称,X的边缘概率密度.,1.边缘密度函数,类似地，Y的边缘分布函数可表示为：,则有,称,为(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数，简称,Y的边缘概率密度函数.,例4 设(X,Y)的概率密度是,求：(1)c的值；（2）两个边缘密度.,=5c/24,故 c=24/5.,(1),解,(2),当 时,暂时固定,当x1或x0时,都有f(x,y)=0，故,暂时固定,注意取值范围,综上,例5.设(X,Y)的概率密度是,求(X,Y)关于X 和Y 的边缘概率密度.,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,解,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,定义3.7,若二维随机变量(X,Y)的分布密度为,二维随机变量的正态分布,其中,均为常数，且,的二维正态分布，记作,则称(X,Y)服从参数为,例6.求二维正态分布的两个边缘密度函数,解：根据定义有,由于,于是,令,则有,由标准正态概率密度函数性质,所以,同理,上例说明了二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，即对于给定的，不同的 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却是一样的。这一事实说明，只有关于边缘分布，一般不能确定联合分布。,定义3.7,设F(x,y)及,分别是随,机变量(X,Y)的联合分布函数和两个边缘分布函数，,若对于一切 x,y 有,则称随机变量X和Y相互独立.,或,2.连续型随机变量的独立性,当(X,Y)是连续型随机变量时，设联合密度、,边缘密度分别为,则X和Y,相互独立的充分必要条件是：若f(x,y)在点(x,y)连续，,则,一般地，边缘分布不能确定二维随机变量的联合分布，但当X与Y相互独立时，二维随机变量(X,Y)的联合分布被它的两个边缘分布完全确定.,二、连续型随机变量的独立性,例7 设(X,Y)的概率密度为,问X和Y是否独立？,x0,解,y 0,即,可见对一切 x,y,均有：,故 X,Y 独立.,例8已知,求,由于存在面积不为0的区域，,故 X 和 Y 不独立.,解,求:(1)X,Y的边缘分布密度；(2)X,Y是否独立；,当0 x 2时，,例9.设随机变量(X,Y)的概率密度为,(1)当 x2 时，,(3)P(Y X).,解,同理,(2)当0 x 2，0 y 2时，,所以X与Y不独立.,若随机变量,且 X 和 Y 相互独立，则,也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性,组合仍服从正态分布.,注意：（二维正态分布）,课外作业：,习题3-2,1,3,习题3-3,1,2,3.4 二维随机变量函数的分布,当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z=g(X,Y)的分布?,一、二维离散型随机变量函数的分布,设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为,则 Z=g(X,Y),也是二维离散型随机变量.,若对于不同的,函数g(x,y)有相同,的取值，应以(X,Y)在有相同函数值的点,概率之和作为Z=g(X,Y)取相应函数值的概率.,若对于不同的,函数值,互不相同，则 Z=g(X,Y)的分布律为,的,例1 设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,由于X与Y相互独立，因此有,得二维随机变量的联合分布：,解,因为Z=X+Y，易知Z的分布为,则Z的分布律为：,k=0,1,2,泊松分布.,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为,的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为,的,依题意，X、Y的概率分布分别为,解,k=0,1,即Z服从参数为 的泊松分布.,于是,例3 设X和Y的联合密度为 f(x,y),求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x,y):x+y z,Z=X+Y 的分布函数是:,它是直线 x+y=z 及其左下方的半平面.,解,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,例4 若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度.,由卷积公式,也即,解,暂时固定,故,当 或 时,当 时,当 时,于是,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.,由卷积公式,解,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,
