概率的计算(第二十章).ppt

静,第八讲 概率的计算（第二十章）,1、用古典概率、几何概率计算概率,2、用基本性质计算概率,3、利用条件概率、乘法公式计算概率,4、利用事件的独立性计算概率,5、利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率,6、利用二项概率公式计算概率,1、用古典概率计算概率,一、用古典概率、几何概率计算概率,古典概型具有两个特性：,(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数有限，且两两互不相容；,1,2,.n,(有限性),(2)每个基本事件发生的可能性相等；,(等可能性),这时若事件A含有k个基本事件，则,为此，经常用到如下排列组合知识：,(1)n个不同元素全部取来进行排列，全部排列的种数为：Pnn!,(2)n个不同元素,每次从中任取r个不同元素来进行排列，所有不同排列的种数为：,(3)n个不同元素,每次从中任取何r个不同元素来进行组合，所有不同组合的种数为：,(4)n个不同元素,每次允许重复地从中任取何r个元素进行排列，所有不同排列的种数为：,例1.设有一批产品共100件，其中5件次品，现从中任取3件，求(1)全是正品的概率；(2)恰有2件次品的概率.,解：(1)设A=任取3件全是正品,(2)设B=任取3件恰有2件次品,例2.一个盒中装有编号为1，2，,10的球各一个，外形完全一样。随机从盒中摸球，每摸一个球，记下编号后放入盒中，共摸六次，求所记下的编号中最大号码恰为6的概率.,解1：设A=6次摸出的编号球最大号码恰为6,解2：设A=6次摸出的编号球最大号码恰为6,2、用几何概率计算概率,几何概型具有两个特性：,(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数无限，且全体结果可用一个有度量的几何区域G来表示；,(无限性),(2)每个基本事件发生的可能性相等；,(等可能性),这时若事件A所对应的区域为g，则,例3.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。甲船的停泊时间是2小时，乙船的停泊时间是3小时，两船启航后都不再返回该码头，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。,解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x与y,则由题意,即样本空间为以24为边长的正方形,设A表示它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出，则,即图中阴影部分。,于是，所求概率为：,y=x+2,y=x-3,概率的基本性质,二、用基本性质计算概率,性质1.(有限可加性)设有限个事件A1,A2,.,An 满足AiAj=(ij,i,j=1,2,n),则,性质2.对任一事件A有,性质3.（加法公式）设A、B为任意两个事件，则,P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),设A、B、C 为任意三个事件，则,P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),性质4.设A、B为任意两个事件，且AB，则,P(B-A)=P(B)P(A),例4.设P(A)=1/3，P(B)=1/2，若（1）AB=；（2）AB；（3）P(AB)=1/8，求,解：（1）因为AB=，所以,例5.设 A、B、C 为随机事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/16，则事件A、B、C 全不发生的概率为多少？,解：“事件A、B、C 全不发生”记为,（2）因为AB，所以,三、利用条件概率、乘法公式计算概率,1、条件概率,条件概率与积事件概率的区别：一般地说，当事件A、B同时发生,时，常用P(AB)；而在有包含关系或明确的主从关系中，用P(B|A)。,2、乘法公式,或,例6.一盒中有10只晶体管，其中7只正品，3只次品，分别用不放回依次抽取和有放回依次抽取两次的方法来测试，求抽取的两件中都是正品的概率.,解：记A=第一次抽得正品,B=第二次抽得正品,(1)不放回抽取：,故,(2)有放回抽取：,故,例7.设 A、B 为随机事件,已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，,解:(1)方法1,因为P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),且,所以,方法2 因为,所以,且,所以,四、利用事件的独立性计算概率,1、定义,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称A,B,C两两独立；,进一步若还有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，,则称A,B,C相互独立.,若事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A,B相互独立,若事件A，B，C满足,2、性质,也相互独立.,若A与B相互独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A),若A与B相互独立，则,例8.甲、乙两高射炮同向一架敌机射击，已知甲炮命中率为0.6，乙炮命中率为0.5，求敌机被击中的概率.,解1：记A=甲炮击中敌机，B=乙炮击中敌机,C=敌机被击中 则C=AB,由加法公式P(C)=P(A)+P(B)P(AB),又因为A与B独立，所以P(AB)=P(A)P(B),P(C)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6+0.50.60.5=0.8,于是,解2.,=0.60.5+0.60.5+0.40.5=0.8,解3.先求,四、利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率,1、全概率公式,设必然事件分解成若干个互斥事件的和,则对任一事件B，有,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An),2、贝叶斯公式,设事件B 和一组事件A1，A2，An满足全概率公式中的条件,则有以下贝叶斯公式：,例9.某厂有四台机器生产同一产品，产量各占50，30，10，10，各台机器生产的次品率分别为2，4，1，2.求：(1)从全厂的产品中任取一件，恰为次品的概率.(2)从全厂的产品中任取一件，发现是次品，问此次品出自哪一台机器?,解：分别以A1，A2，A3，A4表示取得的产品为第一台，第二台，第三台，第四台机器生产的.B表示取得的产品恰为次品.,显然 A1A2A3A4=,且Ai互斥.,(1)要求P(B).,由全概率公式，有,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4),由题意有,P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1,P(A4)=0.1,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.01,P(B|A4)=0.02,所以，有,P(B)=0.50.02+0.30.04+0.10.01+0.10.02=0.025,注意：P(B)不是各台机器的次品率相加.,(2)要求B发生的条件下，出自哪一台机器的可能性大.为此要计算的是下面四个条件概率,P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),P(A4|B),由贝叶斯公式：,类似地可计算出,从计算的结果看出，可能性最大的不是A1，而是A2，自然要倾向于认为是第二台机器生产的。,例10.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次使用时，从中任取3个，用后仍放回盒中，第二次使用时，再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。,解：以Ai(i=0,1,2,3)表示第一次使用了i个新球，B 表示第二次取出的3个球都是新球.,显然 A0A1A2A3=,且Ai互斥.,由全概率公式，有,由题意有,四、利用二项概率公式计算概率,1、贝努里概型,具有下列特点的试验：,(1)每次试验条件都相同，,(3)每次试验的结果是相互独立，,称为n重贝努里试验概型.,2、二项概率公式,在n重贝努里试验中，设每次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，则A恰好发生k次的概率为,其中q=1p.,例11.某计算机设有8个终端，各终端的使用情况是相互独立的，且每个终端的使用率为40%.试求下列事件的概率:,(1)A=恰有3个终端被使用；,(2)B=至少有一个终端被使用；,解：8个终端的被使用与否可视为8次独立的重复试验.于是由贝努里概型得：,