弹性力学变分法及近似解法.ppt

第十章 弹性力学变分法及近似解法,10-1 概 述,所谓弹(塑)性力学变分解法就是基于力学能量原理求解弹(塑)性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因此最终把问题归结为求解线性代数方程组。,下面我们将讨论各类变分理论的建立和它们之间的关系，以及其近似解法。由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单(类似微分)，但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们对一系列力学变分原理中“虚”(如虚功、虚位移、余虚功、虚应力等)的概念的建立与理解。为有利于本章内容的讨论，我们先对变分法作一简单的介绍。,一、变分问题的提出,、等周问题在定长度的曲线中，求出所围成最大面积的曲线，这是一个有附加条件的变分问题。,、最短线问题求平面中连接两定点具有最小长度曲线，这是一个已知边界条件的变分问题。,二、关于变分中的几个基本概念,1、泛函,如在xoy面上两定点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，求满足边界条件的连接两点的任意曲线y=y(x)中的最短的一条曲线,由弧长计算公式,弧长的值随函数y(x)的改变而变化的。,函数y(x)的值随自变量x的改变而变化的。,函数的函数,定义：泛函是以函数集为定义域的实值函数。泛函的一般积分形式可以表示为,此处,例 力学中的能量函数就是一个泛函，因为它可表示为应力或应变分量的函数，而应力或应变分量又是坐标x,y,z的函数。,2、函数的变分,凡是满足边界条件及连续性条件的函数称为容许函数。而变分法就是要在这些容许函数中，寻求使给定泛函为极值的特定函数。上例中,定义：函数y(x)与另一容许函数 之差 叫做函数y(x)的变分。定义中的x泛指单元变量或多元变量。,微分与变分的差别,微分dy反映的是同一个函数,在函数y=y(x)不变的情况下，由于自变量x的微小变化dx所引起的函数y(x)的微小变化，只因x取不同值而产生差异。在微分关系中，dy和dx总是一同出现的。,变分y反映的则是不同函数,在某一自变量x不变的情况下，由于整个函数的微小变化y 所引起的函数y(x)的微小变化。y与x无关，具有独立性与任意性。在变分关系中y和x不相联系。,函数变分y的性质与运算规律,（1）如果y(x)和 都连续可导，则,函数变分的导数等于导数的变分即求导和变分可以交换,（2）同理,函数变分的积分等于积分的变分即积分和变分可以交换,（3）类似微分运算法则,2、泛函的变分,考虑下面的泛函,给函数y(x)以变分y,看泛函发生什么变化。将,根据泰勒级数展开，（b)有,于是得,式中,分别是函数变分y的及其一阶导数y的一次齐次式、二次齐次式、的积分，称为泛函Jy的一次变分、二次变分。有时把泛函的一次变分J简称为泛函的变分。,三、变分法,在数学分析中，我们讨论过函数的极值问题，变分法就是讨论泛函的求极值的问题。,如果一个连续函数,现在把函数求极值的方法推广到泛函中,设y(x)为使泛函取极值的容许函数，函数 可为y(x)临近的容许函数，即,并使,式中，为小值的实参数；,式中,为小参数。对于充分接近于零的一切值，函数,下面导出泛函J取极值的必要条件.选择,使其积分区间的两端等于零,且在新函数,可视为的函数，即,即积分,因为J()是J(0)相邻近的容许函数，具有任意小的接近度,因为可正可负，故为了满足此式必须有：,故有：,又因为为无穷小，故可在=0处将J（）展开，于是得,将式,代入上式,这就证明了J（y）取极值时要求上式成立,即一阶变分等于零。,或,于是,将上式第二项分步积分,或,考虑到边界条件,称为欧拉方程,由于y=的任意性，在给定积分的条件下，要求J=0的必要条件为,因此求泛函J（y)取极值的问题归结为求解(*)式的问题，即解欧拉方程，且满足边界条件,为极大值,为极小值,例:求平面上过点P1(x1,y1)P2(x2,y2)的最短线曲线最短线问题。,解法一：直接解题,设曲线方程为y=y(x),过P1、P2两点间的弧长泛函为,将（1）式变分并使其为零,分步积分得,由边界条件：P1(x1,y1)P2(x2,y2)为定点，有y=0,即,由y的任意性，故有,直线,解法二：代入欧拉公式,y(x)在端点x=x1,x=x2处应满足的条件，称为自然边界条件,式中y(x1)=y1,y(x2)=y2之值都是可变动的，即曲线的端点值是可变动的。,由于y=的任意性，,还要求满足,四、变边界问题自然边界条件,例:设曲线两端点在x=x1和x=x2直线上，求x=x1和x=x2间最短线的必要条件。,由上例的结果，其曲线方程,此式尚应满足自然边界条件,在x1,x2处,即,它平行于x轴的在x=x1和x=x2间的直线段,五、有附加条件的变边界问题,有很多变分问题除边界条件外，还有附加条件，如求泛函,边界条件为,附加条件为,下的极值问题。L为常数,可以引用拉格朗日乘子法化为无条件的极值问题,上面的就是有附加条件的变边界问题,令,得,得,例:在具有给定长度l的曲线中使所围成的面积最大的一条曲线等周问题,解：由数学分析，曲线C所围成的面积为,弧长为,拉格朗日乘子法，设,令,由H=0，得,附加条件为,解出,或,得,即,此为等周问题的解，说明定场曲线所围成圆时的面积最大。,10-2 力学变分原理的基本概念,能量转化与守恒定律是自然界最基本的运动规律之一,在弹塑性变形运动中也不例外。,当可变形固体在受外力作用而变形时,外力与内力均将作功。对于弹性体,由于变形的可逆性，外力对其相应的位移所作的功(实功),在数值上就等于积蓄在物体内的应变能(实应变能),当外力撤除时,这种应变能将全部转换为其他形式的能量实功原理。,上述能量方法不仅适用于线弹性力学(如在材料力学、结构力学中),而且还可用于非线性弹性力学,以至对于塑性力学问题(只需将应变能的概念改为耗散能，或者形变功的概念.,能量方法由于其与坐标选择无关等特点,因此应用极为广泛,更由于它与数学工具变分法的结合而导出了虚功原理,使得用数学分析的方法来解决力学问题的理论得到重大发展而更趋完善。,在理论力学中：质点、质点系(或刚体)的虚位移原理，即：质点或质点系(或刚体)在理想约束(不消耗能量)下，处于平衡状态的必要和充分条件是作用在其上的各力，对于虚位移所作的总虚功为零。,对于质点系所受的力可以划分为主动力和约束反力(在理论力学中)，对变形体可以把它们划分为外力和内力(在材料力学、结构力学中)来进行研究，自然后者表示的方法更适用于固体力学的讨论。,因此，虚功原理可以改述为：对于一个处于平衡状态的质点系，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功必须等于零。其数学表示式为,简称外力虚功与内力虚功。,对于变形固体来说，也可以看成是个质点系，而内力虚功看成与内力实功和实应变能的关系一样，在数值上等于负的虚应变能(U*来表示)，得,于是变形体虚功原理可以表述为：,若弹性体(或变形体)处于平衡状态下。当其发生约束条件所允许的、微小的、任意的虚位移时，则外力在虚位移上的虚功在数值上等于整个弹性体的虚变形能。数学表达式为,1关于变形体的虚功原理的说明,(1)变形体与刚体不同，刚体虽然也可看作是个质点系，但其内各个质点无相对位移，因此总的说来内力不作功。此时，虚位移原理即表示为，用来解决刚体力学(理论力学)的静定问题。,而弹性体是可以变形的，各点间有相对位移，因此内力作功。卸载的弹性体能对外作功，正是内力作功的表现。所以对弹性问题求虚功总和时，应该计入内力在虚位移上作的虚功。虚位移原理表示为，用以解决变形体力学的超静定问题。,(2)弹性体与不变质点系约束不同，它的质点受到一定的约束，也就是在其内部的各个质点应保持连续。因此在设出虚位移时，除在Su部分边界上的点的虚位移值必须满足支座约束(几何边界)条件外(这一点与质点系是共同的)，还必须把虚位移设成坐标的单值连续函数满足连续性条件(这一点是质点系没有的)。,(3)在固体力学中，变形体所发生的位移都符合上述两种约束条件，而在小变形条件下变形是微小的量，因而也符合虚位移的基本要求，所以在解具体问题时可以把变形体由于面力作用而产生的实位移当作虚位移，由于应力作用产生的真应变当作虚应变。,(1)满足体系(包括质点系与弹性体)所有的约束方程的无限小位移为体系的虚位移(故也称可能位移)；如果位移不仅满足约束方程，而且也满足运动方程的初始条件，则为体系的实位移(也称真实位移)。显然，任何微小时间间隔的实位移增量都构成一组可能位移，但反过来，一组可能位移却不一定能形成实位移，因为它不一定满足运动方程和初始条件，因此对变形体来说，在约束性质与时间无关、约束条件所允许的(几何上可能的)条件下，微小的变形位移属于虚位移之列。,(2)实功是力在自己产生位移上作的功。对于线性弹性体来说是变力(从零线性增加的)，所以实功带有l2的系数，实应变能也一样，而且加载时永远为正。而虚功是力在别的因素(人为的)产生的位移上作的功，所谓虚，并不是虚无，而是有可能的、虚设的意思，其意义是指位移的产生与此位移上作功的力无关。不论是否是线性弹性体，虚功都没有12的系数(虚应变能也如此)。当力的方向与位移的方向相同时，虚功为正，反之为负。,2关于虚功原理的进一步说明,变形体的虚功原理(虚位移原理)为力学变分原理的基础(也可以认为刚体、质点系的虚功原理为其特例)，以下我们分三类变分原理来讨论：,虚功原理(虚位移原理)及由它导出的最小势能原理；,(3)以上所讨论“虚”的物理概念反映在数学上就是变分运算，当讨论力学变分原理的计算式时，变分算子“”符号的出现就意味着“虚”的设施，再回忆一下：所谓微小的、任意的、可能的虚位移概念都是变分的思路。,一般变分原理(广义变分原理)。,余虚功原理(虚应力原理)及由它导出的最小余能原理；,卡氏第一定理；,卡氏第二定理；,设有一个变形体处于平衡状态，已给定体力为Fi，面力为。该物体全部表面积为S，体积为V，则平衡条件为,应力边界条件,式中ST，为给定面力的部分表面。,10-3 虚功原理(虚位移原理),现在给予该变形体一组几何约束许可的、任意的、微小虚位移，由此而产生了实际的力系在虚位移上所做的虚功。由式(10-1)，则虚功原理可以叙述为：在外力作用下处于平衡状态的变形体。当给该物体微小虚位移时。外力的总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。,我们知道，外力的总虚功为实际的体力Fi和面力 在虚位移上所作的功，即,由3-4中有关公式，可得在物体产生微小虚变形的过程中，该变形体内的总虚应变能为,于是虚功原理的数学表达式为,其展开式为,式(10-8)或式(10-9)为虚功原理的位移变分方程。,运用奥氏公式将边界上的曲面积分转换成空间区域上的三重积分,以下给出上述原理的具体证明。,若在虚功原理的变分方程(10-8)中，考虑到给定位移的部分表面Su上，所以(面力不能作功)；在给定面力的部分表面ST上，边界条件成立。又因S=Su+ST，于是对ST的积分可以写成对S的积分，即有,此处。将式(b)代入式(a)得,当变形体处于平衡状态时，由式(10-4)，知式(c)展开式的第一项积分等于零。,将式(d)代人式(c)得,又由 及，故,以上，证明了当给予系统微小虚位移时，外力的总虚功与物体的总虚应变能相等是物体处于平衡状态的必要条件。,此外，我们还可以证明 是物体处于平衡状态的充分条件,即由。,可导出平衡方程,和应力边界条件,因此，满足变分方程(10-9)的解就一定能满足平衡方程和应力边界条件。由此，虚位移原理也可表述为：变形体处于平衡状态的必要与充分条件是:对于满足变形连续条件及几何约束边界条件的任意微小虚位移。外力所作总虚功在数值上等于变形体所产生的总虚变形能。在应用虚功方程求解时，所选取的解不必预先满足平衡方程和应力边界条件，但根据上述讨论必须满足几何边界条件。,由以上讨论可知，虚功原理变分方程(10-9)等价于平衡方程与应力边界条件。,及变形连续性条件,在上述虚功原理的推导中未涉及材料的本构关系，就是说，虚位移原理对于弹性体、弹塑性体和理想塑性体等都是适用的。,例10-1设有图10-1所示的简支梁受均布载荷，试写出梁的挠曲线的微分方程。,解 梁在平衡状态下给以虚位移 时，由虚功原理得到：，因此，,则,代人式(1)并令，整理后得,经两次分部积分后，可化为,外力所作的虚功为,由此，据，有,由于 在支承间的任意性，得,可知式(6)前一式所表示的是以位移表示的平衡方程。,对于简支梁边界条件，在支承x=0，x=l处，而 0，因此得，即在支承处弯矩等于零；注意到，即剪力不等于零。所以静力边界条件自动满足。于是有,式(6)前一式即为所求梁的挠曲线方程，由材料力学弯曲理论,由于 在支承间的任意性，得,例：三杆AB、AC、AD 在A点铰接，受铅垂力P，三杆的弹性模量均为E，面积为A，杆AC=l/2，杆AB=AD=l，试用虚位移原理、最小势能原理、最小余能原理、广义势能原理，求解此问题。,解（1）用虚位移原理求解。,设：杆1的（AC）的伸长为1 杆2的（AB）的伸长为2 杆3的（AD）的伸长为3 A点的位移为uA、vA,上式变分,虚变形1、2、3，,虚位移为uA、vA,应满足几何关系,由虚功原理,设：三杆的（AC）的内力分别为N1、N2、N3,由于 任意,即为平衡方程，也就是等价于平衡方程,引入物理关系,整理,得,（2）用最小势能原理求解。,势能为,代入得,由于 任意,即为几何方程，也就是等价于几何方程,（2）用最小余能原理求解。,满足附加条件即平衡方程,若令P产生一个微小改变 P，而N2、N3不变，则N1=P,由于,由,支座没有位移约束力的功,变形协调方程,解得,化简后得,所以,对称,最小势能和最小余能实际上是在一种条件下的泛函极值问题，在系统是有限个自由度时则是在一定条件下的多元函数的极值问题,势能,广义势能原理 引入乘子,满足的条件是，位移边界和几何条件,余能,满足的条件是，平衡方程和应力边界,必须满足 几何条件,或改写成,则原来的泛函的条件极值问题就转化为新泛函的无条件极值问题，由后者的极值条件,平衡方程，几何方程,由（2）（3）（5）（6）极值条件可得,代入（1）式,由以上结果可知，采用乘子法将使分析方法更为系统化，而1、2分别代表相应几何条件的内力,广义余能 原理 引入乘子,把问题转化为新泛函的无条件极值问题，其极值条件为,把问题转化为新泛函的无条件极值问题，其极值条件为,将（1）（3）代入（2）,再由（4）（5）式,解得,而4、5的物理意义位移,10-4 最小(总)势能原理卡氏第一定理,一、关于势能的概念,在第三章中，我们已指出应变能函数就是弹性势能函数。在能量守恒系统中，质点或质点系对于某一参考位置的势能可以用作用在其上的全部力从现有位置移到该参考位置所作的功来度量。现在所讨论的弹性杆件，由于其变形是可逆的，也是个能量守恒系统，所以若取杆件在未受力时的状态作为参考状态，则在受力后它对于该参考状态的总势能就用杆件从变形的受力状态到未受力状态时作用在其上的全部力(包括外力和内力两部分)所作的功来度量。,为便于理解，取上端固定下端自由并在自由端处悬挂一重物的拉杆(图10-2)为例来说明。从拉杆未受力的状态到挂上重物而发生了变形后的受力状态，重物的重力(外力)作正功。而圆杆的内力与重物的重力组成平衡力系，所以此时杆的内力作负功，这个功在数值上就等于积蓄在杆内的应变能U。,于是我们在杆体加载后处于平衡的受力状态的位置下，来计算上述系统的势能。图10-2所示拉杆从它的变形状态到未变形前的参考位置来说，它可以作功，也即内力势能为+U。而对于外力P可以对于位移作负功(一P)，其所以是负的，是因为从杆的变形状态到未受力状态的参考位置来说，外力施力点位移与外力P在指向上是相反的，这也就是说外力的势能应以(一P)来量度(数值上不同于卸载时的外力功)。根据这些分析可知，图10-2所示拉杆的总势能,式中U为内力势能，数值上等于应变能：-w为外力势能，也可以理解为数值上等于常力P 的实功。对于线弹性体来说，在加载过程中的外力功为，其数值即为储存于杆件内的应变能，故有,总势能 恰等于负值的应变能U是线弹性体固有的特点。在10-8中还将计算上述拉杆的总余能。,二、最小(总)势能原理,理论力学已表明：在势力场中质点系在平衡位置的势能具有驻值。于是上面所讨论的虚功原理可以表示成另一种形式。由于虚位移是很微小的。因此在产生虚位移的过程中，外力的大小和方向可以看作是不变的，只是作用点有了改变。这样我们可以把式(10-8)中的变分符号提到积分号的前面，并将应变能函数表示成位移的函数，令 记作这个变分量，有,于是有,其中,其附加条件为,式中 称为整个体系的总势能；U为变形体的应变(势)能；W为一定的外力在ST上所作的功，而W为外力的势能。,当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。注意到位移分量 是坐标xi的函数，总势能 显然是位移 的泛函。式(10-14)说明，当位移从真正的 变化到约束所允许的，也即有位移函数变分 时，总势能泛函的一阶变分为零，因此真实的位移场使总势能取极值。也就是表示在一切可能平衡的状态下，体系的总势能是极大或极小，也就是其总势能为最小或最大值。对于稳定的平衡状态来说，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒为正。由此可证明，总势能 的二阶变分为正。因此在稳定的平衡状态，体系的总势能为最小。于是我们得出最小(总)势能原理：在所有满足给定几何边界条件的位移场中，真实的位移场使系统的总势能取最小值。上述原理的数学表达式即为式(10-14)、式(10-15)、式(10-16)。,证明 现在，我们来给出总势能 的二阶变分为正的证明。,例10-2 设有受力分布载荷集度为q(x)作用的简支梁。试用最小势能原理导出梁的挠曲线方程(图10-3)。,解 略去剪应力。由最小势能原理，知,有,式中，,由此得,根据 P=0，变分量为，注意到,故,对式(7)等号右边第一项进行两次分部积分，可得,于是式(7)化为,由于 的任意性，得，即为挠曲线方程。对于简支梁边界条件：,所以式(9)第二项中。此即表示支点处梁的弯矩为零，请注意支点处剪力不为零，可见静力边界条件自动满足。,三、卡氏第一定理,由最小总势能原理可导出材料力学能量法中介绍的卡氏第一定理。假定有一组广义力Qi(i=1，2，n)作用下处于平衡状态的弹性结构物，系统的应变能可表示为相应的广义位移i(i=l，2，n)的函数U(i)，系统的总势能为,根据势能泛函按泰勒级数展开取一阶变分，并由最小势能原理有,由于变分的独立性，为满足式(m)，连加号中只有第i个外力作用点的位移对总势能有影响，也即只有第i个取导不为零。则可得n个独立的方程,将式(l)代人式(n)得,式(10-17)说明：弹性体系的应变能对于其上某一外力点的位移之变化率就等于该外力的数值。这就是卡氏第一定理。该定理既适用于线性弹性体，又适用于非线性弹性体。因为在计算中U=U(i)为一般弹性体的应变能。,对于梁内任一点的单位应变比能,于是梁的全部应变能为,按卡氏第一定理式(10-17)，有,由式(3)即可根据已知转角 求得外力偶矩M的值。,例10-3 悬臂梁自由端的转角为，试确定施加于该处的力偶M，梁的材料是在线弹性范围内工作的，见图10-4。,解 梁的任一点处的线应变为，式中 为挠曲线的曲率半径。此梁处于纯弯曲状态，挠曲线为圆弧(图l0-4)。于是。则 式可改写为,10-5 余虚功原理(虚应力原理),一、关于势能的概念,而在已给定面力的边界上不能改变，即,所谓虚应力是当变形体处于平衡状态时，满足力的平衡条件及指定的力的边界条件的任意的可能的微小的应力，虚应力记作。这就是说变分的函数不再是位移而是应力。虚应力的特征是，它使改变后的应力分量，仍满足平衡方程和应力边界条件，但不满足变形协调方程，即。,又如将物体V的表面分为两部分时(即给定面力的部分表面ST和给定位移的部分表面Su)，则在Su上，由于应力分量的变化，面力分量Fi也随之变化。于是在Su上有：,将式 与原边界条件，相减后，得,现在考虑变形体处在给定条件下的相容状态，位移分量和应变分量为 和且有,仍然根据虚功原理式，则当变形体的应力分量有一微小虚应力变化时，余虚功原理可表述为：变形体处于相容状态时，微小虚外力在真实位移上所作的总余虚功。在数值上等于虚应力在真实应变上所作的总虚余应变能。,如设 为虚外力在实际位移上(也即其位移边界Su上相应的虚反力在已知位移上)所作的总余虚功，则有,设 为物体内的虚应力在实际应变上所作的总余虚应变能，则有,由余虚功原理 知，也即,其展开式为,其附加条件为,式(10-23)或式(10-24)为余虚功原理的应力变分方程。,余虚功原理也可以叙述为：变形体满足相容状态的必要与充分条件，是对于满足平衡条件及静力边界条件的任意微小虚应力。虚外(反)力所作总虚余功数值上等于变形体的总虚余应变能。,应当指出，余虚功原理的成立也与材料的本构关系无关。不限于线弹性体。还应指出，在虚位移原理中包含了实际的外力和内力，因而可理解为，虚位移原理的位移变分方程是系统平衡的要求，等价于平衡条件(包括静力边界条件)。而虚应力原理则包含有实际的位移和应变，所以，可把虚应力原理的应力变分方程看作是对物体变形协调的要求，等价于应变协调方程。,前面我们已引进了余应变能(余能)的概念。现在我们来结合虚功原理与余虚功原理再进一步阐明：功与余功、应变能与余应变能及其“虚”的数学意义。,10-6 关于实与虚的功与余功、应变能与余应变能的概念,一、功与余功、虚功与虚余功,考虑图10-5所示非线性弹性材料在单向拉伸下的力-位移曲线。,我们知道，曲线以下画有水平阴影线的面积We等于力P在位移达到某值u的过程中所作的功(实功)，则,如位移微量增加u，则相应功的增量为,式中W是功的全增量，等式右边第一项，代表外力功的一阶变分，它是一个一阶无穷小量，实际上就是泛函W的一阶变分。此部分 就是发生虚位移时外力所作的虚功。显然对于线弹性体，式中将不存在高阶项。如推广到三向受力情况，外力(包括体力和面力)功的增量写作,式中略去高阶项，而外力功的一阶变分(虚功)为,至此，结合图10-5，我们已说明了外力功(实功)与其一阶变分(虚功)的数学意义。,再看图10-5中曲线以上画有竖直阴影线的面积(We)c，由于它是矩形Pu中除去外力功We之后余下的部分，因此把它叫做余功，则,如外力增量为 P，则相应余功的增量为,推广到三维的情况，如果体力和面力各有增量及，相应的余功的增量为,式中 是余功的一阶变分。实际上就是泛函(We)c的一阶变分。此部分 就是发生虚外力时，在实位移上所作的虚余功。,式中 是余功的一阶变分(余虚功),(i)功与余功是互补的，We+(We)c=Pu。(ii)功的变分来自位移的增变。积分变量为位移分量。余功的变分来自外力的增变。积分变量为力的分量。(iii)在线弹性时。有We=(We)c。,关于功与余功的问题需注意以下三点：,过去，我们把用应变表示的弹性应变能函数U称为应变能，现在我们把用应力表示的余应变能函数Uc称为余应变能。,二、应变能与余应变能(余能、应力能),图10-6画出的应力应变曲线，类似于上述功与余功的讨论：曲线下面画有水平阴影线的面积U0()代表积累于弹性体单位体积的应变能，也称应变比能。整个弹性体的应变能应等于应变比能对体积的积分。由图10-6可见，在单向拉伸情况下，当应变 有增量 时，变形比能的一阶变分为,推广到三向应力状态，则,整个弹性体的应变能的一阶变分，也即所谓虚应变能为,类似于上面讲到的余功，图10-6中曲线上画有竖直阴影线的面积 代表余应变比能。余应变比能对体积的积分，为整个弹性体内的余应变能，在单向拉伸情况下，当应力有增量如 时，余应变比能的一阶变分为,而整个弹性体的余应变能的一阶变分即所谓虚余应变能为,同样对于应变能与余应变能问题，应注意以下三点：,(i)余应变能与应变能是互补的。也即：。(ii)应变能的积分变量为应变分量。余应变能的变分来自应力分量的增变。(iii)在线弹性时，。,由上述第一点推广到一般应力状态，我们可以再一次证明弹性势函数对应力、应变的微分关系(见3-4、3-6)。由于，则,式(10-30)中的两式表明了弹性体的应力应变关系，再一次强调：一般非线弹性体余应变能 与应变能 是不相等的，对于线弹性体则例外。,一、最小余能原理,10-7 最小(总)余能原理,类似于最小(总)势能的推导，可由余虚功原理导出最小(总)余能原理。由式(10-23)将应变能函数表示成应力的函数，即应变分量可由余应变能函数导出，则,于是有,当有虚应力时，在边界Su上，位移分量保持不变。于是可把上式的变分符号放在积分号外，令 记作这个变分量，有,于是有,其中,其附加条件为,式中，c称为总余能；Uc为变形体的余应变能；Wc为在位移已给定的部分表面Su上外力的余功，-Wc即为外(反)力在Su上的余能。,注意到应力分量 是坐标xi的函数，总余能c显然是应力 的泛函。式(10-31)说明，当应力从真正的 变化到静力所允许的+，也即有应力函数变分 时，总余能泛函的一阶变分为零，因此真实的应力场使物体的总余能取极值。与最小势能原理一样，进一步分析可以证明,故得下列最小总余能原理：在所有满足平衡方程和应力边界条件的应力场中。真实的应力场对于稳定的平衡使系统的总余能取最小值。一般最小总余能原理通常称为最小余能原理，但其中余能指系统的总余能，比余应变能具有更广泛的概念。,10-8 最小功原理卡氏第二定理,此时总余能等于余应变能，变分方程(10-35)称为最小功原理：若变形体的面力给定。或位移边界固定，则在所有满足平衡方程和边界条件的应力场中。真实的应力场必使余应变能取最小值。对于线弹性体，余应变能与应变能相等，故式(10-35)又称为最小应变能定理：没有体力而物表面上位移给定的情况下，线弹性体处于实际的弹性平衡时。应变能为最小。当物体偏离其稳定平衡位置时，其余能(应变能)将增加。因此，此时必有,现在指出最小余能原理的一种特殊情况。若在物体的全部表面S上给定面力(也即只有ST而无Su)，则，或者位移边界固定(变形体系无支座移动)，可知Wc=0，则,最小功原理也可以由下述卡氏定理式(10-38)直接得出。该定理给出了材料力学、结构力学中求解静定系统的位移或超静定系统多余反力的常用公式。,如假定变形体上受n个广义力Qi(i=1，2，n)的作用，并认为系统的内力已由广义力表示，则系统的总余能为,现在讨论由最小余能原理推导出熟知的材料力学中的卡氏第二定理，常称为卡氏定理。,其中i为与广义力Qi相对应的广义位移。由最小余能定理，有,由于变分Qi的独立性，则得n个独立方程,将式(a)代入式(c)，得,式(10-37)即卡氏第二定理，它可叙述为：对于线性结构，它的余应变能Uc对任一载荷Qi的偏导数等于该载荷相应的位移i。只要它的应变能表达为载荷的函数。因此，此式可用来计算线性、非线性弹性杆件或构件在外力Q i作用处与Q i相应的位移i。当i为零时可转化为最小功原理。对于线弹性体，由于余应变能Uc与应变能U是相等的，故而在材料力学中常表示为,但必须指出，上述公式仅对线性弹性体适用。,例10-4 试用最小余能原理求图10-7所示超静定梁的支座反力。,现仍举图10-2所示拉杆为例：余应变能Uc=U=；由于固定端边界位移，支反力R的余功Wc=0，于是有,解此题系两次超静定梁，现取RB、RC为多余支座反力，则可利用平衡条件将RA和MA用RB和RC来表示。则据力系的平衡条件Z=0和MA=0，得,可解得,由于边界支座没有位移，所以Wc=0，则,应用最小余能原理(或最小功原理或卡氏第二定理)，由，则,得：,于是解得RB和RC，再由平衡方程解得RA和MA，即,由,得：,10-9 广义变分原理,在虚位移与最小势能原理中，以位移分量作为参与变分的独立变量；而虚应力原理与最小余能原理，则以应力分量为参与变分的独立变量。这种类型的变分原理称为一类变量变分原理。,赖斯纳(Reissner)变分原理就是把位移和应力看作是独立的变量，其结果相当于同时满足平衡微分方程、物理方程和应力、几何边界条件，称为二类变量广义变分原理。,而胡一鹫变分原理是把位移、应变和应力作为独立变量，它等价于弹性力学的一切基本方程和全部边界条件，称为三类变量广义变分原理。这些原理是用拉氏乘子法，将条件极值问题变成无条件的驻值问题，是弹性力学中最一般的变分原理，称为广义变分原理，也称为一般变分原理。,为推导胡一鹫变分原理，可以从最小势能原理出发，引用拉氏待定乘子法，即把它的附加条件纳入变分方程中去，从数学方法来说，就是把条件极值问题用拉格郎日乘子法加以变化，从而得到一般变分原理的泛函。,我们知道，最小势能原理是以为 变分量，附加条件为：在Su上,，在V内有，共九个关系式。这是条件驻值问题，于是，我们在P内引进九个拉氏乘子(i=1，2，9)，于是得到一般变分原理的泛函H的展开式为,简写式为,式(10-39)或式(10-40)中每一项都应有功的量纲，故,相应地应 为 及，相应地应为 这样九个特定拉氏乘子；于是参与变分的独立变量为，共计18个：、此外，没有别的约束条件。,以下先按上述关系将 更换。由式(10-40)得,现在求式(10-41)IIH的驻值，以一阶变分 IIH=0，运算中注意到对给定条件(如、)均不变分，并有下列关系式,于是推证中引用式(a)有,由于、的任意性，可得,以上是弹性力学问题的全部基本方程及边界条件。,以上是弹性力学问题的全部基本方程及边界条件。,上述方程即弹性力学问题的全部基本方程。,由此可见，最小势能原理和最小余能原理都是条件变分原理，Reissner与胡一鹫原理都是无条件变分原理。这两种广义变分原理都有不同形式的泛函，而当应力应变关系事前得到满足时，三类变量可以退化为二类变量，其变分方程是完全等价的。,例10-5 如图10-8的一个左端固定，右端简支，全段受分布载荷q(x)及简支点受弯矩M0作用的梁。试给出泛函IIP、IIR，并验证IIH=0。等于此问题的全部方程和边界条件。,解 最小势能原理的泛函IIP(体力Fi=0)为,几何边界条件为,为了求出泛函H，我们在式(1)中引用拉氏乘子：M、RA、MA、RB，并将k=作为附加条件处理。于是上述问题化为条件极值问题。如前所述，我们有泛函H为,其中变分量为k、w、M、RA、MA和RB，而无其他附加条件。式(3)的一阶变分为,注意到,根据所得结果，拉氏乘子的物理意义也就明确了。,于是有,由 IIH=0，及 k、w、M、RB、MA和 RA等的任意性，可得所给问题的全部方程和边界条件,平衡方程,几何方程,协调方程,边界条件,10-10 各变分原理之间的关系,10-11 基于变分原理的近似解法,本节介绍两类基本变分原理的应用，即基于虚位移原理或最小势能原理而利用位移变分方程的近似解法，以及基于虚应力原理或最小余能原理而利用应力变分方程的近似解法。弹性力学的变分方法不但如前所述可以得到一样的精确解，其重要作用还在于可以应用于近似计算方法中。除在一般问题近似解法中外，还在薄板、薄壳等弹性力学问题及有限元计算中其优越性将充分显示出来。此处我们将分别介绍基于上述两类变分原理的最广泛使用的两种具体近似解法：RayleighRitz(简称Ritz)法和（伽辽金）法。,一、基于最小势能原理的近似解法,1Ritz法(瑞兹法),例10-6 设有长度为l的简支梁，受均布载荷q作用。试根据材料力学理论求梁的挠度v(x)，如图10-10所示。,解：用Ritz法。由,按所设定的坐标，根据材料力学知梁在x及z向的位移。故有,(A)考虑=0，如设,显然式(3)满足边界条件,今仅取式(3)的第一项，则最小势能原理的泛函P为,今仅取式(3)的第一项，则最小势能原理的泛函P为,将b1代人式(3)，得梁的挠度为,式(7)给出的最大位移与材料力学的解相等。,而材料力学的解为：，相对误差为20，如取式(3)的前两项，则可得：，于是有,(B)考虑Vo=0，如设位移函数为下列三角级数：,式中b1，b2，bn为待定系数，即梁的挠度曲线将由一组正弦曲线叠加而成(图10-11)。,此时，最小势能原理的泛函P仍为,等号右边第一项的被积函数为,将式(10)代入式(9)后，将出现正弦函数连加的平方项。但注意到三角函数的正交性，有,得,级数式(14)收敛很快，一般地说，取头两项即已足够精确。梁中点处的最大挠度为,根据Ritz法，有，当n为奇数时，有,而当n为偶数时，有：。于是梁的挠度曲线可写为,当取级数的第一项时，有,其解答已与材料力学解答接近。,2 伽辽金法,例10-6 用 法解 设有长度为l的简支梁，受均布载荷q作用。试根据材料力学理论求梁的挠度v(x)，如图10-10所示。,解:采用 法,要求设定的位移函数即满足位移边界条件又满足静力边界条件,此时的位移边界条件又满足静力边界条件分别为,(A)首先考虑多项式形式的位移函数,由于一次、二次多项式不满足位移和力的边界条件，位移函数三次多项式不满足对称性要求，故选四次多项式：,于是,由边界条件,由边界条件,则,此时（10-54）化为,上式括号中的平衡条件可代之以位移形式表示的平衡条件。此处,于是，有,积分，得,解得,(B)首取位移函数为三角函数,将 代入进行积分，得bm所满足的代数方程，解得,于是有,这一结果与Ritz法相同。方法更为简便。,