常微分方程复习资料.ppt

复 习 课,常微分方程,Ordinary differential equation,第一章 绪 论第二章 一阶微分方程的初等积分法第三章 一阶微分方程的解的存在定理第四章 高阶微分方程第五章 线性微分方程组第六章 定性理论初步第七章 一阶线性偏微分方程,第一章 绪 论,微分方程概述/Sketch of ODE/基本概念/Basic Conception/,1.常微分方程和偏微分方程 2.一阶与高阶微分方程 3.线性和非线性微分方程 4.解和隐式解 5.通解和特解 6.积分曲线和积分曲线族 7.微分方程的几何解释-方向场,定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程。,常微分方程/ODE/在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程 称为常微分方程。偏微分方程/PDE/自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。,微分方程的阶/Order/在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。当n=1时，称为一阶微分方程；当n1时，称为高阶微分方程。,的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。,如果方程,若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。,常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。,初值条件/Initial Value Conditions/,对于 n 阶方程,初值条件可表示为,n阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示,一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示,积分曲线和积分曲线族/Integral Curve(s)/,一阶微分方程,的解,平面的一条,曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解,表示,表示,平面的一族曲线，称它们为微分方程,的积分曲线族。,练习题,练习题,2.1 变量分离方程与变量变换,2.2 线性微分方程与常数变易法,2.3 恰当微分方程与积分因子,2.4 一阶隐式微分方程与参数表示,第二章 一阶微分方程的初等解法,变量分离方程的求解,1、形式:,2、求解方法：,分离变量、,两边积分、,考虑特殊情况,3、方程 的解为：,可化为变量分离方程类型的求解,I.齐次微分方程,1、形式：,2、求解方法：,作变量代换化其为变量分离方程、,方程求解、,变量还原,II.形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由 I 可化为变量分离方程.,的情形,且C1、C2不同时为零的情形,2.2 线性微分方程与常数变易法,形如,伯努利方程：,解法:,的方程，,关于z,x的线性微分方程,称微分方程,是恰当方程.,1.定义,恰当方程,2.(1)是 恰当方程的充要条件,3、恰当方程的求解,1).不定积分法,（？）,2.分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把微分方程中本身已构成全微分的项分出来,再把余项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,非恰当方程如何求解?,对一些非恰当方程,方程两边乘上一个因子后,可变为恰当方程.,I.积分因子的定义,II.积分因子的确定,积分因子,积分因子的确定,微分方程,这里,这里,一阶隐式方程,求解,采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.,主要研究以下四种类型,第三章一阶微分方程的解的存在定理,利普希茨（Lipschitz）条件,皮卡逐步逼近函数序列,第四章 高阶微分方程,一、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,逐次积分求解,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,