常微分方程28一阶微分方程习题.ppt

1,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,(1)变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,2,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,3,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,4,方法 1 这是一个齐次方程.,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程.,5,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令 u=x y,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,6,令 y=u t,(齐次方程),令 t=x 1,则,可分离变量方程求解,化方程为,7,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,8,例3.,设 F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,9,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,