工程数学1第一章谭艳春.ppt

,第一章 矩阵和行列式,课程名称：工程数学x1,任课教师：谭艳春（）,授课班级：通信1101、1102、1103、1104,1.1 矩阵的概念,1,2,4,5,3,1.5 可逆矩阵及应用举例,1.4 行列式,1.3 矩阵的初等变换及矩阵的等价,1.2 矩阵的运算及应用举例,1.6 分块矩阵,6,一、矩阵的概念在工程技术和经济工作中有大量与矩形数表有关的问题.例1.1 力达公司生产甲,乙,丙三种产品,它们的生产成本由原材料费用,人工费用和其他费用三项构成.表1.1给出了每种产品的每项费用的预算(单位:百元).,矩阵和行列式,1,如果将上表中主要关心的对象-数据，按原来次序排列成矩形数表,并加上括号以表示这些数据是一个整体,就得到矩阵定义1.1 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成m行n列的矩形数表称为mn矩阵.这mn个数称为矩阵(1.3)的元素.位于第i行,第j列的元素aij称为矩阵(1.3)的(i,j)元.,矩阵和行列式,1,元素是实数的矩阵称为实矩阵,本课程中的矩阵除特别说明外,都指实矩阵.通常用黑体大写字母来表示矩阵.有时为了强调矩阵的行数和列数,mn矩阵A也可记作Amn或(aij)mn或(aij),这里aij是A的(i,j)元.,矩阵和行列式,1,二、一些特殊的矩阵n阶方阵：行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵,n阶方阵A也可记作An.一阶方阵就看作一个数。上三角阵与下三角阵：当A=(aij)是n阶方阵时,从左上角到右下角的直线就称为对角线.对角线左下侧所有元素都为零的方阵称为上三角阵;对角线右上侧所有元素都为零的方阵称为下三角阵.,矩阵和行列式,1,分别是上三角阵和下三角阵.,矩阵和行列式,1,对角矩阵：对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵,简称对角阵。因它完全由对角线元素所决定,故而也可记作,矩阵和行列式,1,单位阵：对角线元素都为1的对角阵。,矩阵和行列式,1,列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵,也称为列向量,因为它与三维几何空间中的列向量在形式上是一致的.行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵,也称为行向量。零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作Omn或O。,矩阵和行列式,1,三、同型矩阵与矩阵的相等同型矩阵：如果两个矩阵的行数相同,列数也相同,就称它们是同型矩阵.矩阵相等：如果两矩阵A=(aij)mn和B=(bij)mn是同型矩阵,且它们对应的元素相等,即 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n),就称矩阵A与B相等,记为 A=B,矩阵和行列式,1,思考：请问什么是上三角阵、下三角阵、同型矩阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵和方阵？,矩阵和行列式,1,2 矩阵的运算及应用举例 本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置 等基本运算。,矩阵和行列式,1,一、矩阵的加法,减法和数与矩阵的乘法 设有两个mn矩阵A=(aij)和B=(bij).(1)加法：A与B相加的和,记作A+B,规定为,矩阵和行列式,1,（2）减法：A与B的差,记作A-B,规定为A-B=A+(-1)B=(aij-bij)mn只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加,减运算;其运算归结为对应元素的加,减运算;且运算结果仍是与原矩阵同型的矩阵.,矩阵和行列式,1,(3)和数与矩阵的乘法：数l与矩阵A相乘的积,记作lA,规定为,矩阵和行列式,1,运算规律设A,B,C为同型矩阵,l,m为数,由定义1.2,容易验证矩阵的加法,数乘矩阵满足以下运算规律:(i)交换律:A+B=B+A;(ii)结合律:(A+B)+C=A+(B+C);(iii)分配律:l(A+B)=lA+lB,(l+m)A=lA+mA;(iv)(lm)A=l(mA)=m(lA).另 A+(-A)=O；A+O=A（其中：(-1)A称为A的负矩阵,记为-A）,矩阵和行列式,1,例1.2 设矩阵A,B,C满足等式5(A+C)=2(2B-C),其中求矩阵C.,矩阵和行列式,1,example,解 由5(A+C)=2(2B-C)得5A+5C=4B-2C,7C=4B-5A,于是,矩阵和行列式,1,由于,二、矩阵的乘法定义1.3 设矩阵A=(aij)是mp矩阵,B=(bij)是pn矩阵,那么规定矩阵A与B的乘积是一个mn矩阵,记为C=AB,且它的(i,j)元cij为,矩阵和行列式,1,意味着什么？,上述定义表明:（1）只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,A与B才能相乘,且乘积矩阵C=AB的行数即是A的行数,C的列数即是B的列数;（2）C的(i,j)元cij为A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和.,矩阵和行列式,1,例1.4(1)设,矩阵和行列式,1,求AB,解：,矩阵A与B可相乘,但B与A不能相乘,（2）,矩阵和行列式,1,求AB与BA,解：,即使乘积矩阵AB与BA均有意义,但它们不一定是同型矩阵.因此,应注意矩阵乘法是不满足交换律的,即并非所有的矩阵A与B都有AB=BA.,当矩阵A和B都为n阶方阵时,乘积AB与BA都有意义,且都为n阶方阵,那么是否必定有AB=BA呢?,矩阵和行列式,1,例1.5 设,求AB和BA.,So,1、要分清左乘还是右乘！即矩阵乘法不满足交换律；2、同理也不满足消去率。,矩阵乘法满足以下规律(假设运算均是可行的）(i)结合律(AB)C=A(BC)l(AB)=(lA)B=A(lB),(l为数);(ii)分配律A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(iii)设A为mn矩阵时,则有EmA=AEn=A,特别当A为n阶方阵时,则有EA=AE=A,(这里E为n阶单位阵).,矩阵和行列式,1,矩阵的乘法在线性变换中的应用 预备知识：首先介绍作为线性代数课程主要内容之一的线性方程组以及线性变换的概念和它们的矩阵形式.在线性代数课程中将讨论由m个方程,n个未知数组成的线性方程组,它的一般形式是 其中x1,x2,xn为未知数,aij是第i个方程中未知数xj的系数,bi 称为常数项.如果这m个常数b1,b2,bm不全为零,称方程组(1.6)为非齐次线性方程组;如果b1,b2,bm全为零,称方程组为齐次线性方程组.,矩阵和行列式,1,线性方程组与矩阵有密切的关系.方程组(1.6)(或(1.6)的未知数系数所组成的mn矩阵,矩阵和行列式,1,称为系数矩阵;,它的常数项组成m1列矩阵,称为常数(列)向量,记作b,即,矩阵和行列式,1,非齐次线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的;齐次线性方程组与它的系数矩阵是一一对应的.,线性变换及其矩阵表示由变量x1,x2,x3到变量y1,y2的一个线性变换设另有由变量y1,y2到变量z1,z2,z3的线性变换,矩阵和行列式,1,z=By,y=Ax,如何求从变量x1,x2,x3到变量z1,z2,z3的线性变换呢?（1）高中做法？（2）利用线性变换的矩阵形式:z=By=B(Ax)=(BA)x,即有z=(BA)x,这表明矩阵BA就是由变量x1,x2,x3到变量z1,z2,z3的线性变换矩阵.,矩阵和行列式,1,2.矩阵的乘法推出方阵的乘幂设A是n阶方阵,由矩阵乘法的定义和结合律,k个A相乘是有意义的,记作Ak,即显然Ak仍是n阶方阵,称为A的(k次)幂,规定A0=E.方阵的幂满足以下运算规律:(i)AkAl=Ak+l(ii)(Ak)l=Akl,这里k,l为非负整数.,矩阵和行列式,1,但要注意,当A,B为同阶方阵时,矩阵和行列式,1,因此只有当AB=BA时,上两式右端相等.所以,一般地(AB)kAkBk,这是方阵的幂的运算与数的幂的运算不同的地方.,例1.6 设L=diag(l1,l2,ln),求L3.解,矩阵和行列式,1,example,矩阵和行列式,1,由此可知,:对角阵的幂仍然是对角阵,且其对角阵元素就是的对应元素的同一次幂.,3.矩阵多项式的概念及性质定义：设有x的多项式 j(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,A为n阶方阵，如果多项式右端的每一项中的x的幂用方阵A的同次幂替代(x的零次幂用A0=E替代),那么上式右端每一项都是n阶方阵,其和还是n阶方阵,记此n阶方阵为j(A),即 j(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0E,称为矩阵A的多项式.性质：,矩阵和行列式,1,矩阵多项式,可以象数x的多项式一样相乘或分解因式.,例1.8 设L=diag(l1,l2,ln),j(x)=x2-5x+4,求j(L).解 j(L)=L2-5L+4E,矩阵和行列式,1,结论：,矩阵和行列式,1,对于对角阵L,上式对任一多项式j(x)都是成立的,因此对角阵的多项式是很容易计算的.,方阵的幂的应用例1.9 某岛国里每年有30%的农村居民移居城市,有20%的城市居民移居农村.假设该国总人口数不变,且上述人口迁移规律也不变,该国现有农村人口320万,城市人口80万.问该国一年后农村与城市人口各是多少?2年后呢?解 设k年后该国农村人口与城市人口分别为xk和yk(单位:万),这里正整数k1.下面计算x1,y1和x2,y2.由题意有,矩阵和行列式,1,矩阵和行列式,1,写成矩阵形式,设,三、矩阵的转置定义1.4 设mn矩阵A=(aij),则它的转置矩阵,记为B=AT=(bij),规定(i)B为nm矩阵;(ii)bij=aji,i=1,2,n;j=1,2,m.,矩阵和行列式,1,可见,转置就是把矩阵A的行和列按原来次序互换.,运算规律转置也是一种运算,它满足以下运算规律:(i)(AT)T=A;(ii)(A+B)T=AT+BT;(iii)(lA)T=lAT,(l为数);(iv)(AB)T=BTAT.,矩阵和行列式,1,对称阵：定义：对于矩阵A,如果满足 AT=A,则称A为对称矩阵,简称对称阵.性质：由定义可知,对称阵A=(aij)一定是方阵,且aij=aji,即它的元素以对角线为对称轴对应相等.例如矩阵,矩阵和行列式,1,例1.12 已知,矩阵和行列式,1,解法一 直接计算BT和AT的乘积,解法二 根据转置的性质BTAT=(AB)T,又,例1.14 设A是对称阵,证明BTAB也是对称阵.证：因为AT=A,由转置的性质得(BTAB)T=BTATB=BTAB,所以BTAB是对称阵.,矩阵和行列式,1,作业：课本63页 习题一 1、2（4）、4(1)、6（2）、8、14（2）下次上课时交作业。,矩阵和行列式,1,3 矩阵的初等变换与矩阵的等价 矩阵除可进行2节中所讨论的运算外,还可以进行变换.本节所讨论的矩阵的初等变换就是矩阵的更广意义上的运算.一、定义定义1.5 下面三种变换称为矩阵的初等行变换.(i)对调两行(对调i,j两行,记为rirj);(ii)以非零数k乘第i行(记为rik);(iii)把第i行的k倍加到第j行上去(记为rj+kri).为方便起见,依次称为第1种,第2种和第3种行初等变换.,矩阵和行列式,1,定义1.6 把定义1.5中的行换成列,即得矩阵的初等列变换,(所用记号是把r换成c);矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换,简称初等变换.,矩阵和行列式,1,矩阵等价的定义 设矩阵A经若干次初等变换成为B,就称矩阵A与B等价,记作AB.上面的定义表明:矩阵的初等变换是矩阵的一种特殊运算;矩阵之间的等价关系也完全不同于矩阵的相等关系.矩阵等价的性质(i)自反性:AA;(ii)对称性:若AB,则BA;(iii)传递性:若AB,BC,则AC,矩阵和行列式,1,例1.15 设,矩阵和行列式,1,对B作初等行变换.,为什么这么变换？,二、矩阵在初等行变换下的行阶梯形和行最简形 从例1.15看到,矩阵经初等行变换后,好多元素会成为0或1,看上去矩阵会变得“简单”一些.那么,一个矩阵在初等行变换下能变成怎样简单的矩阵呢?有何标准呢？,矩阵和行列式,1,定义1.8(1)称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯矩阵:(i)如果存在零行(元素全是0的行),则零行都在非零行的下边;(ii)非零行的非零首元(第一个不是0的元素)的下边全是0.(2)称满足下列两个条件的矩阵为行最简形矩阵:(i)它是行阶梯矩阵;(ii)非零行的非零首元为1,且它所在的列的其它元素均为0,矩阵和行列式,1,例1.16 下列四个34矩阵中,哪些是行阶梯矩阵?哪些是行最简形矩阵?,矩阵和行列式,1,定理1.1(1)任一矩阵都可通过若干次初等行变换成为行阶梯矩阵;(2)任一行阶梯矩阵都可通过若干次初等行变换成为行最简形矩阵.通过初等行变换化矩阵为行阶梯形和行最简形是矩阵最常用的基本运算,它的最重要,也是最直接的应用就是求解线性方程组,在第二章中将会深入详细地讨论这个问题,下面先给出一个简单的例子.,矩阵和行列式,1,例1.17 求解线性方程组,矩阵和行列式,1,解 注意到此方程组的增广矩阵,就是例1.15中的矩阵B.,对增广矩阵作第1种初等行变换rirj,相当于交换 方程组的两个方程;作第2种初等行变换rik(k0),相当于在第i个方程两边均乘以(非零数)k;作第3种初等行变换ri+krj,相当于把第j个方程的k倍加到第i个方程上去.,矩阵和行列式,1,据此,由例(1.15),矩阵和行列式,1,矩阵B1对应的非齐次线性方程组为,在上例中,当增广矩阵化为行最简形矩阵时,原方程组的解已经可以直接写出来了.,例1.18 把矩阵A化为行最简形矩阵,矩阵和行列式,1,解：,矩阵和行列式,1,1、前例中及后面都用到把几个初等变换写在一起的省略写法.这里要注意各个初等变换的次序从上到下一般不能颠倒.这是由于后一次初等变换是作用在前一次初等变换结果上的缘故.2、此外还要注意初等变换ri+rj与rj+ri的区别;记号ri+krj也不写作krj+ri.,矩阵和行列式,1,思考：1、请问什么是矩阵的第1种、第2种和第3种初等行变换？2、矩阵等价是否就意味着矩阵相等？3、什么是行阶梯矩阵和行最简行矩阵？,矩阵和行列式,1,4 行列式 设A是n阶方阵,它有n2个元素;构成矩形数表,是一个整体,也即A的性质与这n2个元素都有关.本节中,我们将把A对应于一个数A的行列式,记为detA或|A|,这个数将反映A的一些重要特性.n阶方阵A的行列式detA(或|A|)也称为n阶行列式.,矩阵和行列式,1,一、二阶和三阶行列式(规定一阶矩阵a的行列式|a|=a.)二阶、三阶行列式的定义,矩阵和行列式,1,设A=(aij)为三阶方阵,则规定它的三阶行列式,矩阵和行列式,1,（对角线法则）画线法记忆,例1.20 求下列矩阵的行列式:,矩阵和行列式,1,解 按三阶行列式的对角线法则,得,二、排列及其逆序数 为了把二阶与三阶行列式的定义推广到n阶行列式上去,先介绍排列及逆序数.排列：我们把数字集合S=1,2,3上的一个长为3的有序组称为S的一个3-排列.于是S的3-排列数为3!=6.一般地,数字集合Sn=1,2,n的一个长为n的有序组称为Sn的一个n排列,简称排列.Sn的排列个数为n!,特别,称排列12n为S的自然排列.,矩阵和行列式,1,逆序数设 p1p2pn(1.14)是Sn的一个排列.任取它的一对数pi和pj(ipj,则称它们构成逆序对.排列(1.14)的逆序对总数称为排列(1.14)的逆序数.显然,Sn上的一个排列是自然排列,当且仅当其逆序数为0.逆序数为偶数的排列称为偶排列,否则称为奇排列.可以证明Sn的排列中 偶排列个数=奇排列个数=,矩阵和行列式,1,三、n阶行列式的定义 利用排列及逆序数的概念,重新考察三阶行列式的定义(1.13)式,可以发现:(1)每一项当元素的行足标是自然排列时,列足标恰好也是一个排列,这是用排列的语言描述每项是不同行,不同列元素乘积的事实;(2)某项冠正,负号的规则是:当该行的行足标是自然排列时,若列足标是偶排列,则该项冠正号,否则冠负号.,矩阵和行列式,1,定义1.9 设n阶方阵,矩阵和行列式,1,称为A的n阶行列式,其中和式是对集合S=1,2,n的所有排列作和,t是排列p1p2pn的逆序数.,矩阵和行列式,1,例1.22 证明下三角阵的行列式解：显然只需计算detA中的非零项.任取detA中的一个非零项,矩阵和行列式,1,结论(1)上三角阵的行列式有相同的结果:,(2)对角阵L=diag(l1,l2,ln)的行列式,矩阵和行列式,1,例1.23 证明,(未标明的元素均是0),四、行列式的性质和计算 当n4时,用定义计算n阶行列式将是十分复杂甚至是不可能的.下面将讨论行列式的性质,并用这些性质来简化行列式的计算。性质1|AT|=|A|,即转置矩阵的行列式与原矩阵的行列式相同.,矩阵和行列式,1,性质1说明行列式凡是对行成立的性质,对列也同样成立,反之亦然.因此以下仅就行列式行的情形叙述行列式性质,大家可自行写出对行列式列的相应性质.,矩阵和行列式,1,矩阵和行列式,1,性质4 设,矩阵和行列式,1,则,此性质说明行列式中某一行(列)的元素均是两数之和时,该行列式就可按此行(列)拆成两个行列式之和.,矩阵和行列式,1,例1.25 求detA,其中,矩阵和行列式,1,例1.26 设,解 注意到A的各列元素之和相等,因此把第2,3,4行都加到第1行,则第1行元素就等于各列元素之和.,例1.27 证明行列式,证,矩阵和行列式,1,一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题.下面介绍的行列式的另一重要性质,即行列式按行(列)展开的法则就解决了这一问题.为此,先引入余子式和代数余子式的概念.,余子式:在n阶方阵A=(aij)中划去(i,j)元aij所在的第i行和第j列的所有元素后,留下的n-1阶方阵的行列式称为矩阵A的(i,j)元的余子式,记作Mij;代数余子式:记 Aij=(-1)i+jMij,Aij称为矩阵A的(i,j)元的代数余子式,矩阵和行列式,1,行列式按行(列)展开法则,矩阵和行列式,1,性质6 设n阶方阵,则成立按第i行展开公式:detA=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,i=1,2,n;和按第j列展开公式:detA=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj,j=1,2,n.,下面利用性质6重新计算例1.25,定义1.10 设A=(aij)为n(2)阶方阵,称n阶方阵,为A的伴随阵,其中Aij是A的(i,j)元的代数余子式.,例 求方阵,的伴随阵A*.,解 A11=-15,A12=10,A13=5,A21=11,A22=-10,A23=-7,A31=12,A32=-10,A33=-4,所以,例 设A为n阶方阵,A*是A的伴随阵,试证AA*=A*A=|A|E.证 注意到A*的第i列各元素分别是A的第i行对应元的代数余子式,由行列式性质6及其推论,有,矩阵和行列式,1,推论 行列式某一行(列)元素与另一行(列)元素的对应元的代数余子式乘积之和等于零,即当ki时,ai1Ak1+ai2Ak2+ainAkn=0,五、方阵取行列式由方阵A来确定它的行列式detA,可视为方阵A的一种运算或映射.那么,方阵在转置,数乘,相乘运算后,会有以下运算规律(A,B均为方阵):(i)detAT=detA(ii)det(lA)=lndetA(iii)det(AB)=detAdetB推广（1）|AB|=|BA|.（2）若A1,A2,As为同阶方阵,则 det(A1A2As)=(detA1)det(A2)det(As).,矩阵和行列式,1,矩阵和行列式,1,5 可逆矩阵及应用举例,一、可逆矩阵的基本概念 对于n个未知数,n个方程的线性方程组Ax=b,如果对于系数矩阵A,存在n阶方阵B,使BA=En,则用B左乘方程两边,就有x=Bb,这就引出逆矩阵的概念.定义1.11 对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使 AB=BA=En则称矩阵A是可逆的,并把方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.,逆阵的唯一性：如果矩阵A是可逆的,那么A的逆阵是唯一的.证明:设B,C都是A的逆阵,则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,所以A的逆阵是唯一的.将A的逆阵记作A-1,即有 A-1A=AA-1=E.,矩阵和行列式,1,对于逆矩阵的定义，应当注意的是:(1)可逆矩阵一定是方阵,并且其逆阵为同阶方阵;(2)矩阵A与B的地位是对称的.所以,由定义知,B也是可逆阵,并且A与B互为逆阵,即B=A-1,同时A=B-1.定理1.2(1)方阵A可逆的充分必要条件是A的行列式|A|0;(2)当A可逆时,矩阵和行列式,1,其中A*是A的伴随矩阵.,证：(1)必要性:若A可逆,即有A-1使AA-1=E,于是det(AA-1)=det(E)=1.由矩阵取行列式的性质(iii),得1=det(AA-1)=detAdetA-1,所以detA0.,矩阵和行列式,1,充分性:由之前的计算结果，可知 AA*=A*A=diag(|A|,|A|,|A|)=|A|E.当|A|0时,有,矩阵和行列式,1,则由定义知A是可逆的,且,（非）奇异阵：对于方阵A,若|A|0,称A为非奇异阵,否则称A为奇异阵,可逆阵就是非奇异阵.推论 如果同阶方阵A,B满足AB=E,则A可逆,且A-1=B.上述结论对一阶方阵也是成立的.事实上,对于一阶方阵a,当a0时,矩阵和行列式,1,例 判别矩阵A是否可逆?,解,矩阵A不可逆.,二、逆矩阵的求法 如前所述,当A是可逆阵时,线性方程组Ax=b有解x=A-1b,因此就需要计算A的逆矩阵A-1.第一种方法：是用公式第二种方法：是用矩阵的初等行变换,具体方法是,设A是n阶方阵,把En写在A的右边,构成n2n矩阵,记为(A,E),当A可逆时,(A,E)的行最简形为(E,B),其中n阶方阵B即是A的逆阵,即B=A-1,于是有,矩阵和行列式,1,原理将在第二章中详细介绍.,例 设二阶矩阵,且detA0,求A-1.解 detA=ad-bc,此结果可当公式用.,例 求方阵,的逆矩阵.,解法一 用公式|A|=-10,A可逆,计算A的代数余子式:,A11=1,A12=1,A13=-1,A21=-2,A22=-2,A23=1,A31=6,A32=7,A33=-2,解法二用初等行变换,例 设方阵A满足A2+A=E,证明A和A+2E都可逆,并求它们的逆阵.解（1）由A2+A=E得A(A+E)=E,因此A可逆,A-1=A+E.（2）令B=A+2E,则A=B-2E,代入A2+A=E,得(B-2E)2+B-2E=E,B2-4B+4E+B-2E=EB2-3B=-E,B(B-3E)=-E因此B-1=(A+2E)-1=3E-B=3E-A-2E=E-A,矩阵和行列式,1,定理1.3(克拉默法则)设n个未知数x1,x2,xn的n个方程的线性方程组,如果系数矩阵行列式|A|0,就有唯一解:,其中Aj(j=1,2,n)是把A中第j列用常数向量b=(b1,b2,bn)T代替后所得的矩阵.,例 设平面上二次曲线 y=a0+a1x+a2x2 过三点(1,2),(2,3),(3,5),求此曲线方程.解 把三个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组,对于线性方程Ax=b,若常数向量b=0,即b1=b2=bn=0,得齐次线性方程Ax=0(1.21)显然x=0,即x1=x2=xn=0是它的解,这个解称为方程(1.21)的零解;若x0是方程(1.21)的解,则称它是非零解.齐次方程一定有零解,但不一定有非零解.把克拉默法则用于方程(1.21),有推论 如果齐次线性方程组(1.21)的系数矩阵的行列式detA0,则它只有零解.,矩阵和行列式,1,四、矩阵方程 含有未知矩阵的等式称为矩阵方程.在应用问题中,经常需要求解矩阵方程.,矩阵和行列式,1,例 设AXB=C,求未知矩阵X,分别用A-1左乘,B-1右乘等式AXB=C的两端,得A-1(AXB)B-1=A-1CB-1,(A-1A)X(BB-1)=A-1CB-1,即X=A-1CB-1,矩阵和行列式,1,五、逆矩阵在加密传输中的应用首先给每个字母指派一个码字,例如,于是为传输信息GO NORTHEAST把对应的码字写成34矩阵(按列),如果直接发送矩阵B,这是不加密的信息,容易被破译,无论军事或商业上均不可行,因此必须对信息予以加密,使得只有知道密钥的接收者才能准确,快速破译.为此,可以取定3阶可逆阵A,并且满足|A|=1,令 C=AB 则C是34矩阵,其元素也均为整数.现发送加密后的信息矩阵C,己方接收者只需用A-1进行解密,就得到发送者的信息:B=A-1C.,例如现取,则|A|=-1,且,现发送矩阵,接收者收到矩阵C后,用A-1解密:,矩阵和行列式,1,6 分块矩阵,一、分块矩阵的概念例1.40 设5阶矩阵,用一条水平线和一条垂直线依次在行的方向和列的方向分成两块,将A分成四个小块,每个小块里的元素按原来次序组成一个小矩阵:,矩阵和行列式,1,于是可以把A看成由这4个小块组成的分块矩阵,即写成,矩阵和行列式,1,分块矩阵：一般地,将矩阵A在行的方向用水平线分成s块,在列的方向用垂直线分成t块,就得A的一个st分块矩阵,简称分块矩阵,它的每一小块称为子矩阵,或子块.显然将一个矩阵分块的方法很多,其中有两个分块矩阵应予特别注意,这就是按列分块矩阵和按行分块矩阵.,矩阵和行列式,1,把A的每个列作为一个子块,即在列的方向分为n块,就得到A的按列分块矩阵,记为 A=(a1,a2,an)其中,按列分块矩阵,矩阵和行列式,1,把A的每个行作为一个子块,即在行的方向分为m块,就得到A的按列分块矩阵,记为其中,按行分块矩阵,矩阵和行列式,1,二、分块矩阵的运算 分块矩阵的意义：在于当行数、列数较高时，矩阵的运算可化为若干子矩阵(子块)的运算,当然分块矩阵要进行运算,必须要有适当的分块.下面讨论分块矩阵的运算.,矩阵和行列式,1,1.分块矩阵的加法设A,B为同型矩阵,并进行相同的分块法成为st分块矩阵,并且子矩阵Aij与Bij(i=1,2,s;j=1,2,t)也是同型矩阵,那么它们的和也是st分块矩阵,2.数与分块矩阵的乘法设分块矩阵,l为数,则,3.分块矩阵的乘法设A为mp矩阵,B为pn矩阵,依次分块成,也即矩阵A和B分别在列的方向和行的方向分成相同的 t 块,并且要求A的列的每块所含列数等于B的行对应块所含行数,即Ai1,Ai2,Ait(i=1,2,s)的列数依次等于B1j,B2j,Btj(j=1,2,r)的行数,4.分块矩阵的转置设,则,例 设方阵A,B为,计算AB.,解法一：直接计算,解法二 将A,B分块,按分块矩阵的运算,有,其中,所以,矩阵和行列式,1,大家知道,对角阵是较简单,性质良好的矩阵.分块矩阵中也有类似的分块对角阵的概念.,设A为方阵,若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且对角线上的子块都是方阵,即,其中Ai(i=1,2,s)都是方阵,那么称A为分块对角矩阵.,矩阵和行列式,1,就是分块对角阵,分块对角阵具有与对角阵类似的性质,设A为分块对角阵,则(1)detA=detA1detA2detAs;,矩阵和行列式,1,(3)A可逆当且仅当子块A1,A2,As均可逆,矩阵和行列式,1,例 设6阶方阵,求A2及A-1.,解 方阵A是分块对角阵,矩阵和行列式,1,所以,矩阵和行列式,1,又,A1,A2,E3均可逆,故A也可逆,且,作业：17（4）、18（2）、19（1）、20（2）、21（1）23（1）、26（2）、28、29（2）、32,矩阵和行列式,1,