工科基础数学第四章不定积分.ppt
安徽电气工程职业技术学院基础部 数学教研室 高纪文,不定积分,本部分内容共安排12学时，具体如下：,第1,2课时：原函数与不定积分,教学目的：理解原函数与不定积分的概念；熟记基本积分公式和性质；掌握直接积分法教学重点：不定积分的概念；基本积分公式；直接积分法教学难点：不定积分的概念,教学过程：1、按教材引入新课（3）2、原函数的定义，并通过例子进行说明(5)3、关于原函数的几个定理(10)原函数存在定理 原函数族定理,4.不定积分的定义(7)比较原函数与不定积分的定义，强调不定积分是“所有的”原函数，因此求不定积分时，在求得一个原函数后，千万不要忘记加上“C”。5.不定积分的几何意义(5)6.微分运算与积分运算的关系(5),7.通过例、.习题巩固原函数与不定积分的概念(15)补充：1、2、设 则,8.基本积分公式(10)要求对照基本导数公式，必须熟记。9.不定积分的性质(5)说明：性质较少，故求不定积分虽然相当于求导的逆运算，但求积分比求导数要复杂和困难得多。,10.直接积分法(30)通过分析讲解教材中例题，明确告诉学生求不定积分时，首先，注意观察被积函数，看是不是基本积分表中的类型或它们的线性组合，若是，直接用公式和性质；若不是，常常需要根据被积函数的特征，进行某些恒等变形，转化为能够用基本积分公式或性质的形式，从而求出积分，这种积分方法就是直接积分法，它是最基本的积分方法，是学习其他积分方法的基础,必须熟练掌握；通过例子告诉学生一些常用的变形方法。课堂练习：做习题4.1的练习4（单号）。11.小结。布置作业。(5),第3,4课时 第一类换元积分法（凑微分法）,教学目的：掌握第一类换元积分法（凑微分法）教学重点：熟悉一些常见的凑微分类型教学难点：凑微分法教学过程：,1.按教材复习引入新课，提出问题：这种方法是不是具有一般性呢？（10）2、推出第一类换元积分公式，给出凑微分法的步骤（15）公式告诉我们：无论 为自变量，还是函数，均有，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围。,问题：何时使用凑微分法，怎样凑微分？基本思路：观察被积函数，一般先考虑能不能直接积分，若不行，而被积函数中含有复合函数，且其余部分可以与 结合凑成复合函数中间变量的微分，则可用凑微分法。,3、通过举例，归纳一些常见的凑微分类型（65）特别地,有;说明：（1）仅在前面1-2例子写出换元过程，后面重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程均不写出，要求学生在心中默记着。（2）教学方法是对同一种类型，先举2-3个例子，通过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，再自己做2个同类课堂练习进一步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基本类型及相应的处理方法，启发学生总结经验，掌握其规律性；在此基础上，再做习题4.2练习1进行强化。,说明：（1）仅在前面1-2例子写出换元过程，后面重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程均不写出，要求学生在心中默记着。（2）教学方法是对同一种类型，先举2个例子，通过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，再自己做2个同类课堂练习进一步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基本类型及相应的处理方法，启发学生总结经验，掌握其规律性；在此基础上，再做习题4.2练习1进行强化。4小结，布置作业。（10）,第5，6课时：第一类换元积分法（凑微分法),教学目的：熟练掌握凑微分法教学重点：凑微分法教学难点：灵活运用凑微分法求积分教学过程：,1.复习已学的求不定积分方法及其所适应的基本类型，并辅以练习。（20）2.例、习题：求下列不定积分（30）,说明：以上结论可以作为公式使用，再举2个应用公式求积分的例子.3课堂练习：复习题4的4（1）（14）（30）4 求形如的积分，为后面学习有理函数积分做准备。（15）5 小结。布置作业。（5）,第7，8课时：第二类换元积分法,教学目的：掌握第二类换元积分法教学重点：第二类换元积分法教学难点：选择适当的变量代换教学过程：,1.复习已学的求不定积分方法及其所适应的基本类型，提出问题，通过求 引入新课。（7）2、给出第二类换元积分公式及第二类换元法的步骤（8）,问题：何时用第二类换元积分法，怎样用？,一般用于被积函数中含有根式，而用直接积分法和凑微分法又不能积出的情形；关键在于合理选择函数进行变量代换，把原来不易求出的积分转化为能用前面所学的方法求出的积分。,3.常用第二类换元积分法求积分的两种被积函数类型,(1)被积函数中含有（20）方法：设（换根代换法）目的：消去根式，化为有理函数的积分。通过2个例题讲清步骤，注意提醒学生被积函数中的 与积分变量 必须同时换为；再做课堂练习巩固。,(2)被积函数中含有(30)方法：作三角代换 目的：消去根式通过例题讲清方法、步骤，提醒学生注意：10 结合三角公式选择三角代换；20 被积函数中的 与积分变量 必须同时换；30 回代时画个辅助三角形会比较方便。做课堂练习,4 简介可用第二类换元积分法求积分的其他情形(10)5 补充：再通过例题17告诉学生求同一积分，从不同的角度考虑，可能有多种解法；求积分时应该注意根据被积函数的特征，选择适当的积分方法，能用凑微分的尽量用第一类换元法，使解题过程更简洁。(15)6 小结。布置作业。(10),第9，10课时：分部积分法,教学目的：熟练掌握分部积分法教学重点：分部积分法教学难点：合理选择u,v教学过程：,1.复习前面所学习的积分方法及其适用的类型，提出如何求，引入新课。（10）2.推出分部积分公式，分析分部积分法。（15）公式：作用：把求 转化为求，如果 比 易求，就起到了化难为易的目的。,问题：何时用分部积分法，怎样用？一般用于被积函数为两类函数的乘积，且用前面的方法积不出来，此时可考虑用分部积分法；关键在于合理选择u（通过例子说明），同时把被积函数中另一部分与dx结合凑成dv原则：方便简洁规律：反对幂三指3结合讲解例题，体会分部积分法，指出注意事项（35）,说明：（1）每次解题前应养成观察被积函数特征，选择适当积分方法的习惯；（2）使用分部积分公式之前必须把积分写成形式；（3）同一题中，若需要可多次使用分部积分公式，但第二次使用分部积分公式时必须选择和前一次同类函数作为u；（4）有时使用公式后等式右边也出现所求的积分，此时可如解方程一般，进行移项求得积分，注意右边不要忘记加上C；（5）有时求积分需要综合运用换元积分法和分部积分法。,4课堂练习习题4.3的1（单号），2（30）5小结，布置作业。（10）,第11，12课时：有理函数的积分举例 习题课,教学目的：会求简单的有理函数的积分 掌 握各积分方法教学重点：有理函数的积分 求积分的基 本方法教学难点：有理函数的分解 积分方法的灵活运用教学过程：,1有理函数的概念（5）2有理函数的分解部分分式法（只提出结论，不加证明，通过例题把方法讲清）（15）3有理函数的积分举例（15）（1）给出求有理函数积分的步骤（2）举例4课堂练习（15）,5几点说明：（10）（1）结合教材中例题说明以上介绍的是求有理函数积分的常规方法，但不一定是最简单的方法。解题时应根据被积函数的特点，尽可能选择较简便的方法，要灵活应用；（2）4.5积分表的使用留给学生自学；（3）初等函数的原函数不一定仍是初等函数。6本章内容小结，重点是总结求不定积分的基本方法及其所适应的基本类型，不过分强调积分技巧。数学恒等变形与变量代换是常用的典型方法，要引导学生逐步培养这些数学思想方法；选做复习题4。（40）,
