多元多元函数微分法函数微分法.ppt

,84 多元复合函数的求导法则,多元复合函数的求导法则,全微分形式不变性,练习,连锁规则、,连锁规则的进一步推广,注意,多元复合函数的偏导数如何求？,定理 如果函数uj(t)及vy(t)都在点t 可导，函数zf(x，y)在对应点具有连续偏导数，则复合函数zfj(t),y(t)在点可导，且其导数可用下列公式计算：,设zf(u，v，w)，uj(t)，vy(t)，ww(t)，则zfj(t)，y(t)，w(t)对t 的导数为：,连锁规则的推广：,连锁规则：,（称为全导数）,设zf(u，v)，而uj(x，y)，vy(x，y)，则复合函数 zf j(x，y)，y(x，y)的偏导数为：,连锁规则的进一步推广：,，,例1 设ze usin v，ux y，vxy，求 和,解,eu sin vy eu cos v 1 exy y sin(xy)cos(xy)，,e usin vxe ucos v1ex yx sin(xy)cos(xy),讨论：,1设zf(u，v，w)，uj(x，y)，vy(x，y)，ww(x，y)，则,，,2设zf(u，x，y)，且uj(x，y)，则,，,答：,答：,例2 设uf(x，y，z)，而zx2 sin y求 和,解,2x,2z,2x(12x2 sin 2y),2x sin y,2y,2z,x2 cos y,2(yx 4sin y cos y),例3 设zu vsin t，而ue t，vcos t求全导数,e t(cos t sin t)cos t,解,v e t,u sin t,cos t,e tcos t e tsin t cos t,解,令uxyz，vxyz，则wf(u，v),yz，,或 f1yz f2,y,yz,y,yz,yz,x y2 z,xy,y,yz,x y2 z，,y(xz),y,或 f11y(xz)f12 yf2 xy2z f22,设zf(u，v)具有连续偏导数，则有全微分,全微分形式不变性：,dz du dv,如果zf(u，v)具有连续偏导数，而uj(x，y)，vy(x，y)也具有连续偏导数，则,dz dx dy,()dx,()dy,(dx dy),(dx dy),du dv,例6 设ze usin v，ux y，vxy，利用全微分形式不变性求全微分,(ye usin v e ucos v)dx,dz du dv,解,e usin vdu,e usin v(y dxx dy),e xy y sin(xy)cos(xy)dx e xy x sin(xy)cos(xy)dy,e ucos v dv,e ucos v(dxdy),(xe usin v e ucos v)dy,