多元复合函数及隐函数求导法则.ppt

一元复合函数的求导法则(链式法则）,处也可导，且有,复习,第三节 多元复合函数及隐函数求导法则,设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，即，如果能构成 z 是x,y 的二元复合函数,如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？,问题：,法二：多元复合函数的求导法则(链式法则）,定理 如果函数u(x y)v(x y)都在点(x y)具有对x 及y的偏导数，函数zf(u v)在对应点(u v)具有连 续偏导数 则复合函数zf(x y)(x y)在点(x y)的两个偏导数存在 且,1、复合函数的中间变量均为二元函数的情形,链式法则：,一、多元复合函数的求导法则(链式法则）,链式法则如图示,函数,自变量,中间变量,zf(u v)u(x y)v(x y),复合关系图,公式给出z对x的偏导数是,公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即,(1)公式(*)的项数，等于结构图中z到达自变量x路径的个数.函数结构中z到达自变量x的路径有两条.第一条是，第二条是，所以公 式(*)由两项组成.,(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数.如第一条路径,有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两个偏导数 与 的乘积.,复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.,设zf(u v)u(x y)v(x y)则,解法1：,exyy sin(xy)cos(xy),eusin v,1,eucos v,y,eusin v,exyx sin(xy)cos(xy),1,eucos v,x,解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到,，z 是x，y二元函数，根据偏导数的求法，得,定理的推广：,设zf(u,v,w),uj(x,y),vy(x,y),ww(x,y),则,，,设zf(u,v,w),uj(t),vy(t),ww(t),则,定理 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数 zf(u v)在对应点(u,v)具有连续偏导数 则复 合函数zf(t)(t)在点t可导 且有求导公式,定理的推广：,2、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,设zf(u v)u(t)v(t)则,解：,-,由公式得,-,例2 设函数,etcos tetsin tcos t,v,cos t,+u,et,(sin t),解:,et(cos tsin t)cos t.,设zf(u,v,w),uj(t),vy(t),ww(t),则,定理 如果函数 在点 具有对 及对 的偏导数,函数 在点 可 导,函数 在对应点 具有连 续偏导数，则复合函数 在点 的两个偏导数存在，且有,3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形,z,特殊地,其中,区别类似,设zf(u x y)且u(x y)则,例4,解:,.,解,令,则,4、复合函数是抽象函数的情形,求可导函数,例5,求,f,的偏导数。,求,.,解:,令uxyz,vxyz,则wf(u,v).,例6 设wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数,求,注：为表达方便，引入以下记号：,由于,所以,解,一元函数具有微分形式不变性，多元函数的全微分形式也有类似的性质。,全微分形式不变性的实质：无论 z 是自变量 u，v 的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的.,全微分形式不变性,练习：1、求下列复合函数的偏导数,答案：1、求下列复合函数的偏导数,（4）令,