多元函数微分法及其应用第三节多元函数微分法.ppt

-1-,第三节 多元函数微分法,一 复合函数微分法二 隐函数微分法,-2-,一 复合函数微分法,1 链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算：,-3-,证,-4-,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,-5-,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,且可用下列公式计算,-6-,链式法则如图示,-7-,类似地再推广，,且可用下列公式计算,-8-,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,-9-,解,-10-,解,-11-,例3,设,求,解,令,则,同理,-12-,例4,设,计算,其中,二阶,偏导数连续。,解,令,为方便起见记,同理有,则,在计算含有抽象复合函数的偏导数是应当注意,1）要学会分析函数的复合关系,-13-,3)在计算高阶偏导数时,要注意,仍保持,的,复合关系.,-14-,例5,设,求,解,二阶偏导连续,-15-,例6,设函数,二阶可导，,求,解,-16-,-17-,例7,解,其中,二阶偏导数连续。,-18-,解,-19-,例9,设,求,其中,二阶可导。,解,-20-,2 全微分形式不变性,设函数,具有连续偏导数，,当,时，,则有全微分,如果,是自,变量，,由于,-21-,全微分形式不变形的实质：,它的全微分形式是一样的.,一阶全微分形式不变性,-22-,例10,利用全微分形式不变性可以计算较复杂函数的,一阶(偏)导数.,设,求,解,-23-,.,-24-,1 一个方程的情形,二 隐函数的微分法,1）,隐函数存在定理1,且,它满足条件,并有,-25-,解法1,令,则,解法2,视方程中,为,函数，,方程两边对,求导,-26-,解,令,则,-27-,函数的一阶和二阶导数为,-28-,隐函数存在定理2,且,并有,2),-29-,解法一,视方程,中,为,的函数，,方程两边分别关于,求偏导数，,-30-,解法二,-31-,解法三,-32-,解法1,令,则,-33-,对关系式,两边关于,再求,一次偏导数，,解法2,-34-,思路：,解,令,则,-35-,整理得,整理得,-36-,整理得,-37-,2 方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,-38-,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,-39-,-40-,例16,求,解,设,视方程组中的,为,的函数，两边对,求导,-41-,解,将所给方程的两边对,求导并移项,-42-,-43-,-44-,