复合函数与初等函数的导数.ppt
第二章 导数和微分,2.3复合函数与初等函数的导数,一、复合函数的微分法,定理 1,此法则又称为复合函数求导的链式法则,推论设 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数 y=f(x)也可导，,且,说明：1、利用复合函数的求导法则，关键是弄清复合函数的复合关系即由哪些基本初等函数或简单函数复合而成。2、熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后，可以不写出中间变量，采用逐层求导的方式计算复合函数的导数。,例 1设 y=(2x+1)5，求 y.,解把 2x+1 看成中间变量 u，,y=u5，u=2x+1,复合而成，,所以,将 y=(2x+1)5看成是,由于,例 2设 y=sin2 x，求 y.,解这个函数可以看成是 y=sin x sin x,可利用乘法的导数公式，,将 y=sin2 x 看成是由 y=u2，u=sin x 复合而成.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法.,复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.,求 y.,解将中间变量 u=1-x2 记在脑子中.,这样可以直接写出下式,例 3,解这个复合函数有三个复合步骤,把这些中间变量都记在脑子中,解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.,例 6设 y=sin(xln x)，,求 y.,解先用复合函数求导公式，再用乘法公式,y=cos(xln x)(xln x),=cos(xln x)(x(ln x)+x ln x),=(1+ln x)cos(x ln x).,例 7,解先用复合函数求导公式，,再用加法求导公式，,然后又会遇到复合函数 的求导.,二、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例2求(arctan x)及(arccot x)。,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以,例3,解,特别地当,时有,解 y=etan x 可以看成是由 y=eu，u=tan x 复合而成，,所以,例 4设 y=etan x，求 y.,例 5设 f(x)=arcsin(x2)，求 f(x).,解,例 6,求 y.,解,三、参数方程导数,例如,消去参数 t,问题:消参数困难或无法消去参数时如何求导?,设xj(t)具有反函数 tj-1(x)，且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x)。若xj(t)和yy(t)都可导，则,例7,四、导数的基本公式,(1)(C)=0，(2)(xm)=m xm-1，(3)(sin x)=cos x，(4)(cos x)=-sin x，(5)(tan x)=sec2x，(6)(cot x)=-csc2x，(7)(sec x)=sec x tan x，(8)(csc x)=-csc x cot x，(9)(ax)=ax ln a，(10)(ex)=ex，,，,练习题2.3 1、（2）（5）（8）（14）（20）2、（2）（6）（10）3、（3）,作业：P36,第二章 导数和微分,2.4 隐函数求导法,一、隐函数的求导,形如 ysin x，yln xe x 的函数都是显函数。,显函数与隐函数：,隐函数,隐函数的显化,我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个变量表示的形式,-y=f(x),这种形式称为显函数.,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,对于这样的函数,例如,隐函数的求导法则,隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 y的导数.容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含,的方程，解出,即可.,例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数。,解：方程中每一项对x求导得,(e y)(xy)(e)(0)，,即 e y yy+xy0，,解：把方程两边分别对x求导数得,因为当x0时，从原方程得y0，所以,解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得,所求的切线方程为,解：方程两边对x求导，得,上式两边再对x求导，得,二、对数求导法,在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，还有一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.,所谓对数求导法，就是在 y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.,观察函数,方法:,先在方程两边取对数，将连乘积、商函数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.,复杂,适用范围:,烦琐,于是,例5求yx sin x(x0)的导数。解：两边取对数，得ln ysin x ln x，上式两边对x 求导，得,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求：yx sin xe sin xln x，,解：先在两边取对数，得,上式两边对x求导，得,课堂练习：,作业：P39,练习题2.4 1（1）（3）（5）；2；4、（1）（6）,
