复变函数与积分变换第3章复变函数的积分.ppt

第3章 复变函数的积分,本章学习目标1、了解复变函数积分的概念;2、了解复变函数积分的性质;3、掌握积分与路经无关的相关知识;4、熟练掌握柯西古萨基本定理;5、会用复合闭路定理解决一些问题;6、会用柯西积分公式;7、会求解析函数的高阶导数.,第3章 复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念,3.1.1 复积分的定义,本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。同高等数学一样，也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤定义复变函数的积分。,3.1.2 复积分存在的一个条件与计算,1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。,3.1.3 积分的性质,从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.,3.1.3 积分的性质,1、（为复常数）2、3、4、（由 与 首尾相接而成）,5、设 为 的长度,若 沿 可积,且在 上满足,则这个性质提供了一种估计复变函数积分的模的方法,例1 计算 其中 为从原点到点 的直线段。,解 直线的方程可写成 又因为 容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,例2 计算 其中 为以 中心，为半径的正向圆周,为整数.,解:的方程可写成所以因此,例3 计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段,解,例4 计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。,解:,第3章 复变函数的积分,3.2 积分基本定理,单连通区域的柯西定理柯西古萨基本定理,积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理 如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿其内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即,几个等价定理,定理一 如果函数 在单连通域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.定理二 如果函数 在单通连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且,3.2.2 复连通区域的柯西定理复合闭路定理,复合闭路定理 设有围线，其中 的每一条均在其余各条的外部，而它们又全部在 的内部；设 为由 的内部与 的外部相交部分组成的复连通区域，若 在 内解析且在 上连续，则 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.,例1 计算 的值，为包含圆周 在内的任何一条正向简单闭曲线。,解:,第3章 复变函数的积分,3.3 积分基本公式与高阶导数公式,3.3.1 柯西积分基本公式,定理(柯西积分公式)如果函数 在区域 内处处解析，为 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于,为 内部的任一点,那末 公式称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.,例1 计算(沿圆周正向),解 由柯西积分公式得,例2 计算(沿圆周正向),解 由柯西积分公式得,柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具.(见解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,3.3.2 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理,定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于.,例3 计算 其中 为正向圆周:,解:由公式得,第3章 复变函数的积分,3.4 原函数与不定积分,原函数的概念,下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。,定理 如果函数 在单连通域 内处处解析，为 的一个原函数，那么这里 为区域 內的两点。,例 1 计算,解：,例2 计算,解：,例3 计算,解：,例4 计算,解：,