导数四则运算和反函数求导法则.ppt

第三节 导数四则运算和 反函数求导法则,一、从定义出发求导函数,二、求导的四则运算法则,三、反函数求导法则,求 的导数.,解:,即,例,例,求 的导数及.,解,一、从定义出发求导函数,即,同理可得.,且,例,求 的导数.,解:,求 的导数,即，特别地.,例,解,即，特别地.,例,求 的导数.,当 时，,即.,例如,例,解：由导数的几何意义，得切线斜率为,求等边双曲线 在点 处的切线,方程和法线方程.,所求的切线方程为,即;,二、求导的四则运算法则,所求的法线方程为,即.,如下的线性运算关系：,定理4.3.1 设 和 都是可导的，则对任意常数,和，它们的线性组合 也可导，且满足,或,证明:,例,求 的导数,解:,定理,设 和 都是可导的，则它们的积,函数是可导的，且满足:,或,证明:,例,求 的导数.,解:,例,求 的导数,解:,定理4.3.3 设 可导且,则它的倒数也可导，,且满足:,或,证明:,例,求 的导数.,解:,即,同理可得,推论 设 和 都是可导的且，则它们的商,函数也是可导，且满足:,或,例,求 的导数.,三、反函数求导法则,解:,同理可得.,则它的反函数 在 上可导，且有,证明:因为 在 上连续且严格单调，由反,函数连续定理,它的反函数 在 上存在且,连续.,由于 在 上可微，且，,因而，(即),从而，(即),即,即 在 处可导且它的导数,求 的导数,所以在 内有,同理可得,例,例,求双曲函数及反双曲函数的导数.,解:由于,于是,同理可得,由于 和,同理可得,反双曲函数的导函数可按反三角函数类似导出:,同理可得,定理和定理可推广到多个函数的情况:,(1),(2),例,求多项式 的导数.,解:,解:,四.小结,从定义出发求导函数,求导的四则运算法则,反函数求导法则,