导数及其运算.ppt

第一节 导数及其运算,返回目录,1.导数的概念若函数y=f(x)在x0处的增量y与自变量的增量x的比值,当x0时的极限lim=存在,则称f(x)在x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在x0处的导数,记为 或.,x0,y|x=x0,f(x0),返回目录,2.导函数如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就 说 f(x)在区间(a,b)内可导,其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作f(x)的导函数,记作 或.3.函数f(x)在x0处的导数函数f(x)的导函数f(x)在x=x0处的函数值 即为函数f(x)在x0处的导数.4.导数的几何意义(1)设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的.(2)设s=s(t)是位移函数,则s(t0)表示物体在t=t0时刻的.,f(x),y,f(x0),切线的斜率,瞬时速度,返回目录,(3)设v=v(t)是速度函数,则v(t0)表示物体在t=t0时刻的.5.常用的导数公式C=(C为常数);(xm)=(mQ);(sinx)=;(cosx)=;(ex)=;(ax)=;(lnx)=;(logax)=.6.导数的运算法则f(x)g(x)=f(x)g(x),Cf(x)=Cf(x)(C为常数),加速度,0,mxm-1,cos x,-sinx,ex,axlna,logae,f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),7.复合函数求导的运算法则一般地,设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x),函数y=f(u)在u处有导数yu=f(u),则复合函数y=f(x)在点x处也有导数,且yx=.,返回目录,返回目录,考点一 导数的定义,用导数定义求函数y=f(x)=在x=1处的导数.,【分析】利用导数定义求函数的导数应分三步：求函数增量y;求平均变化率;求极限lim.,x0,题型分析,返回目录,【评析】本题的关键是对 的变形.,【解析】y=f(1+x)-f(1),对应演练,利用导数定义求导:（1）y=x2在x=2处的导数值;（2）y=在x=1处的导数值.,返回目录,返回目录,返回目录,考点二 利用导数公式求导,求下列函数的导数:(1)y=-3x3-7x2+1;(2)y=ln|x|;(3)y=;(4)y=3xex-2x+e;(5)y=;(6)y=xcosx-sinx.,【分析】直接应用导数公式和导数的运算法则.,返回目录,【解析】(1)y=(2)当x0时，y=lnx,y=;当x0时，y=ln(-x),y=()(-1)=.y=.,(3),返回目录,返回目录,(4)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)+0=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.(5)y=(6)y=(xcosx)-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.,【评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性.,返回目录,返回目录,对应演练,求下列函数的导数:（1）y=x2sinx;（2）y=（3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+).,（1）y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.（2）y=,返回目录,（3）y=-sin(2x2+1)(2x2+1)=-4xsin(2x2+1).（4）y=,返回目录,考点三 求复合函数的导数,求下列函数的导数:(1)y=sin(2x+);(2)y=log2(2x2+3x+1).,【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的求导法则.,返回目录,【解析】(1)解法一:设y=sinu,u=2x+,则yx=yuux=cosu2=2cos(2x+).解法二:y=cos(2x+)(2x+)=2cos(2x+).,返回目录,返回目录,(2)解法一:设y=log2u,u=2x2+3x+1,则yx=yuux=log2e(4x+3)=(4x+3)=log2e.解法二:y=log2(2x2+3x+1)=(2x2+3x+1)=(4x+3)=log2e.,【评析】求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别需要注意中间变量的系数.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.,返回目录,返回目录,对应演练,求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.,(1)设u=1-3x,y=u-4.则yx=yuux=-4u-5(-3)=.(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则yx=yuuvvx=2ucosv2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+).(3)y=(x)=x+x()=+=.,返回目录,返回目录,考点四 导数的几何意义,已知曲线y=x3+.（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.,【分析】(1)可知切点为(2,4),则在(2,4)处的切线可求.(2)过点(2,4)的切线中,(2,4)可能为切点,也可能为另外一条切线与曲线的交点.,【解析】(1)y=x2,在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.,返回目录,返回目录,(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,)，则切线的斜率.切线方程为y-()=(x-x0),即y=x-+.点P(2,4)在切线上,4=2-+,即-3+4=0,+-4+4=0,(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,返回目录,【评析】(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0,y0)，然后求其切线斜率k=f(x0)，写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.,对应演练,已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.,返回目录,返回目录,解:直线l过原点,则k=(x00).由点(x0,y0)在曲线C上,得y0=-3+2x0,=-3x0+2.y=3x2-6x+2,k=3-6x0+2.又k=,2-6x0+2=-3x0+2,整理得2-3x0=0.x00,x0=,此时y0=-,k=-,因此直线l的方程为y=-x,切点坐标为(,-).,返回目录,1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.,高考专家助教,返回目录,3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解决.(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,适当选定中间的变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程.,祝同学们学习上天天有进步！,