对面积的积分.ppt

第九章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分,1.实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,一、对面积的曲面积分的概念与性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,2.对面积的曲面积分的定义,1.定义,3.对面积的曲面积分的性质,注,对面积的曲面积分的应用,面积,质量,重心,转动惯量,二、计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,则,则,这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式,简述为：一代、二换、三投影,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,注：把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式,例1,解,例2 计算,与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面,解,在 xoy 内的投影区域,o,x,y,z,例3 计算,z=0 与 z=H 之间的圆柱面,解,由对称性 有,例4,解,依对称性知：,注,对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性,对称于xoy（或yoz，或 zox）坐标面,若 f（x,y,z)关于z（或 x，或 y）是奇函数,若 f（x,y,z)关于z（或 x，或 y）是偶函数,完全类似于三重积分的对称性,例5 计算,解,例6,解,（左右两片投影相同）,例7,解,例8 求均匀曲面,的重心坐标,解,由对称性,故 重心坐标为,例9,解,例10 计算,解,由奇偶对称性,上半球面,下半球面,四、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,1、对面积的曲面积分的概念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,