定积分在几何学上应.ppt

6.2 定积分在几何学上的应用,一 平面图形的面积,四 小结 思考题,二 体积,三 平面曲线的弧长23,面积：,面积元素,一 平面图形的面积,1.1 直角坐标之一般情形,面积元素：,面积：,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,一 平面图形的面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,一 平面图形的面积,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,解,两曲线的交点,选 为积分变量,一 平面图形的面积,问题：,积分变量只能选 吗？,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,一 平面图形的面积,1.2 直角坐标之参数方程的情形,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,一 平面图形的面积,面积元素,曲边扇形的面积,2、极坐标情形,一 平面图形的面积,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,一 平面图形的面积,解,利用对称性知,一 平面图形的面积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1、旋转体的体积,旋转体的体积为,二、体积,解,直线 方程为,二、体积,解,二、体积,二、体积,解,二、体积,二、体积,补充,利用这个公式，可知上例中,二、体积,解,体积元素为,二、体积,2、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,二、体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,二、体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,二、体积,1、平面曲线弧长的概念,三、平面曲线的弧长,弧长元素,弧长,2、直角坐标情形,三、平面曲线的弧长,解,所求弧长为,三、平面曲线的弧长,解,三、平面曲线的弧长,曲线弧为,弧长,3、参数方程情形,三、平面曲线的弧长,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,三、平面曲线的弧长,证,三、平面曲线的弧长,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,三、平面曲线的弧长,曲线弧为,弧长,4、极坐标情形,三、平面曲线的弧长,解,三、平面曲线的弧长,解,三、平面曲线的弧长,3、平面曲线弧长的概念,直角坐标系,（参数方程情形）,极坐标系,弧微分的概念,求弧长的公式,五、小结,1、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下 平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,2、旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,作业：279-282 2(2)(4);3;5(3);12;18;25;30,