大数定律及中心极限定理第节.ppt

第五章 大数定律及中心极限定理,第一节 大数定律,概率论中最重要的理论结果是极限定理。其中尤为重要的是被称为“大数定律”和“中心极限定理”的那些定理。,人们通常把用来阐明大量测量值的算术平均值的稳定性的一系列定理统称为“大数定律”；把有关论证大量相互独立的随机变量之和的极限分布是正态分布的那一系列定理统称为“中心极限定理”。,定理:(契比雪夫定理),(即所有方差是有界的),定理一:(契比雪夫定理的特殊情况),证：,由于,由契比雪夫不等式可得,a是一个常数，,记为,定理一又可叙述为：,定理二:(伯努利大数定理),或,伯努利大数定理表明事件发生的频率,依概率收敛于事件的概率 p。,这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当 n 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。,由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。,定理三：(辛钦定理),第二节 中心极限定理,正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别重要的位置。在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布的。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这一类定理称为中心极限定理。,一般来说，如果某一项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，那么就可断定描述这些大量独立的偶然因素的总和的随机变量是近似地服从正态分布的。这是数理统计中大样本的理论基础。,定理四：(独立同分布的中心极限定理),例：一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2毫米，均方差为0.05毫米。规定总长度为(20+0.1)毫米时产品合格，试求产品合格的概率。,解：,由题意知，,且服从同一分布，又,由定理四得知,定理五：(李雅普诺夫定理)-略,定理六：(棣莫弗 拉普拉斯定理),这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当 n 充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。,例：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.005。现有10000个这类人参加人寿保险。试求在未来一年中在这些保险者里面死亡人数不超过70个的概率。,解：,则,10000个这类人中死亡人数,10000个这类人中死亡人数,所以所求的概率为,很难计算下去！,现在利用棣莫弗 拉普拉斯定理计算：,课 外 习 题,第 0 页,0,