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第二章 矩阵,1 矩阵的概念2 矩阵的运算3 逆矩阵4 分块矩阵5 矩阵的初等变换6 矩阵的秩,第二章 矩阵1 矩阵的概念,一、矩阵的定义,定义:由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表,称为m行n列矩阵,简称mn矩阵.,为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作,简记为:A=Amn=(aij)mn=(aij).这mn个数称为矩阵A的元素,数aij称为矩阵A的第i行第 j列元素.,第二章 矩阵1 矩阵的概念,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。,例如:,是一个24实矩阵;,是一个33复矩阵;,是一个14(实)矩阵;,是一个31(实)矩阵;,是一个11(实)矩阵.,第二章 矩阵1 矩阵的概念,二、几种特殊矩阵,(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,第二章 矩阵1 矩阵的概念,(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作O.,例如,注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.,其中主对角线上的元素都是1，其他元素都是0。记作:,第二章 矩阵1 矩阵的概念,第二章 矩阵1 矩阵的概念,其中1,2,n不全为零.记作A=diag(1,2,n),(7)设A=(aij)为 n 阶方阵,对任意 i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵.,第二章 矩阵1 矩阵的概念,2.如果A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B.,三、同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵.,解:由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,得:,x=2,y=3,z=2.,第二章 矩阵1 矩阵的概念,例2：见P36（自学）,n个变量x1、x2、xn与m个变量y1、y2、ym之间的关系式,表示一个从变量x1、x2、xn到变量y1、y2、ym的线性变换，其中aij为常数。,四、矩阵应用举例,例3：(线性变换)参考P44,第二章 矩阵1 矩阵的概念,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,第二章 矩阵1 矩阵的概念,再如：,它对应着单位矩阵,第二章 矩阵1 矩阵的概念,注：行列式与矩阵的区别:,1.一个是算式，一个是数表,2.一个行列数相同,一个行列数可不同.,3.对 n 阶方阵可求它的行列式.记为:,第二章 矩阵2 矩阵的运算,一、矩阵的加法定义:设有两个mn 矩阵A=(aij)与 B=(bij),那么矩阵A与B的和记作A+B,规定为,注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算.,第二章 矩阵2 矩阵的运算,例：,第二章 矩阵2 矩阵的运算,矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C都是mn 矩阵)：(1)交换律：A+B=B+A,(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C),(3)若记：-A=-(aij),称为矩阵A的负矩阵，则有：A+(-A)=O,A-B=A+(-B).,二、数与矩阵相乘定义:数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为,第二章 矩阵2 矩阵的运算,例：,第二章 矩阵2 矩阵的运算,注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.,矩阵数乘满足下列运算规律(设A、B都是mn 矩阵,为数),矩阵相加与矩阵数乘合起来,统称为矩阵的线性运算.,第二章 矩阵2 矩阵的运算,定义:设A=(aij)是一个 ms 矩阵,B=(bij)是一个sn 矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积 C=(cij)是一个mn 矩阵,其中,三、矩阵与矩阵相乘,(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.记号AB常读作A左乘B或B右乘A。,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.,第二章 矩阵2 矩阵的运算,例5：求矩阵,的乘积AB及BA.,解：由于矩阵A与矩阵B均为二阶方阵，所以二者可以互乘。,第二章 矩阵2 矩阵的运算,例5表明：,矩阵乘法不满足交换律,即:AB BA,另外，,矩阵乘法满足下列运算规律：,（其中 为数）;,定义:如果两矩阵相乘，有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可交换，简称A与B可换。,第二章 矩阵2 矩阵的运算,上节例3中的线性变换,（1）,利用矩阵的乘法，可记作,其中，,线性变换(1)把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。,第二章 矩阵2 矩阵的运算,并且满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.,注意:由于矩阵乘法不满足交换律,则:,若A是n 阶方阵,则Ak为A的k次幂,即,方阵的幂：,第二章 矩阵2 矩阵的运算,四、矩阵的转置,定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT.,例：,矩阵的转置满足下述运算规律(假设运算都是可行的):,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,第二章 矩阵2 矩阵的运算,解法1:因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,第二章 矩阵2 矩阵的运算,由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:,方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.,证明:自学（见P49）,例8:设列矩阵X=(x1 x2 xn)T,满足XTX=1,E为n 阶单位矩阵,H=E 2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.,如果AT=-A，则称A 为反对称矩阵。,第二章 矩阵2 矩阵的运算,五、方阵的行列式定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或det A.例,方阵的行列式满足下列运算规律：,(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,第二章 矩阵2 矩阵的运算,六、共轭矩阵,定义:当 A=(aij)为复矩阵时,用 表示aij 的共轭复数,记,称 为A 的共轭矩阵.,共轭矩阵满足下述运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):,作业：P49习题2-2 5.7.（用矩阵求解）,第二章 矩阵3 逆矩阵,定义:对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使 AB=BA=E则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵.记作：A-1=B,唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,证明：,所以A 的逆矩阵是唯一的。,一、逆矩阵的定义和性质,第二章 矩阵3 逆矩阵,方阵的逆矩阵满足下列运算规律,(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.,(2)若矩阵A可逆,且 0,则 A 亦可逆,且,(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,(4)若矩阵A可逆,则AT 亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.,第二章 矩阵3 逆矩阵,第二章 矩阵3 逆矩阵,定义:行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵,称为矩阵A 的伴随矩阵.,性质:AA*=A*A=|A|E.,证明:自学,二、伴随矩阵的概念及其重要性质,第二章 矩阵3 逆矩阵,三、矩阵可逆的判别定理及求法,即,则,解完否？,第二章 矩阵3 逆矩阵,又因为,所以,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.,定理:矩阵A可逆的充要条件是|A|0,且,其中A*为矩阵A的伴随矩阵.,第二章 矩阵3 逆矩阵,证明：,第二章 矩阵3 逆矩阵,当|A|=0 时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.,由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,推论:若 AB=E(或 BA=E),则 B=A-1.,因而,A-1存在,于是,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.,故结论成立.,例10 求方阵 的逆矩阵.,第二章 矩阵3 逆矩阵,解,同理可得,第二章 矩阵3 逆矩阵,所以,例11 设,求矩阵X使其满足 AXB=C.,解:由于,所以,A-1,B-1都存在.且,第二章 矩阵3 逆矩阵,又由 AXB=C,得 A-1AXBB-1=A-1CB-1,X=A-1CB-1,第二章 矩阵3 逆矩阵,注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。,第二章 矩阵4 分块矩阵,引言:对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.定义:将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,一、分块矩阵的定义,例如:,第二章 矩阵4 分块矩阵,二、分块矩阵的运算规则,(1)分块矩阵的加法:设矩阵A与B是同型的,且采用相同的分块法,有,其中子块Aij与Bij是同型的(i=1,2,s;j=1,2,r),则,第二章 矩阵4 分块矩阵,(2)分块矩阵的数乘:,第二章 矩阵4 分块矩阵,第二章 矩阵4 分块矩阵,(3)分块矩阵的乘法:设A为ml 矩阵,B为l n矩阵,分块为,其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于B1j,B2j,Btj的行数,则,解:把A,B分块成,则,第二章 矩阵4 分块矩阵,第二章 矩阵4 分块矩阵,而,第二章 矩阵4 分块矩阵,(5)设A为n阶方阵,若A的分块矩阵除在对角线上有非零子块外,其余子块均为零矩阵,且对角线上的子块都是方阵，即,其中Ai(i=1,2,s)都是方阵,则称A为分块对角矩阵.,第二章 矩阵4 分块矩阵,1.|A|=|A1|A2|As|.,2.设分块对角矩阵A,若|Ai|0(i=1,2,s),则|A|0,且,3.,分块对角矩阵具有下述性质:,第二章 矩阵4 分块矩阵,所以,解:将A 分块,形成分块对角矩阵.,第二章 矩阵4 分块矩阵,对于线性方程组,记,三、分块矩阵的应用：线性方程组的表示,(2),第二章 矩阵4 分块矩阵,其中A称为系数矩阵,x称为未知数向量,b称为常数项向量,B称为增广矩阵.按分块矩阵的记法,可记 B=(A b)或 B=(A,b)=(a1,a2,an,b).利用矩阵的乘法,方程组(2)可记作 Ax=b,作业：P56习题2-3 1.(2)2.(3)P63习题2-4 5.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,分析:用消元法解下列方程组的过程.引例:求解线性方程组,一、消元法解线性方程组,解:,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,用“回代”的方法求出解:,其中c为任意常数.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,1.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换:,归纳以上过程:,(3)一个方程加上另一个方程的 k 倍;,(2)以不等于0的数 k 乘某个方程;,(1)交换方程次序;,2.上述三种变换都是可逆的.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.,在上述变换过程中,只对方程组的系数和常数进行运算,未知量并未参与本质性运算.因此，若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,二、矩阵的初等变换,定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行(对调 i,j 两行,记作 ri rj);(2)以非零数k乘以某一行的所有元素(第 i 行乘 k,记作 ri k);(3)把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去,记作 ri+krj).,把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”),定义2:矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,说明:三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:,ri rj 的逆变换为 ri rj;ri k 的逆变换为 ri(1/k),或 ri k;ri+krj 的逆变换为 ri+(k)rj,或 ri krj.,定义3:如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价.记作AB.,矩阵之间的等价关系具有下列性质：(1)反身性:A A;(2)对称性:若A B,则 B A;(3)传递性:若A B,且 B C,则A C.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,用矩阵的初等行变换解方程组(1)，其过程可与方程组(1)的消元过程一一对照.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,B6对应的方程组为:,或令x3=c(c为任意常数),方程组的解可记作:,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,定义4:矩阵B5和 B6都称为行阶梯形矩阵,其特点是:(1)可画出一条阶梯线,线的下方全为0;(2)每个台阶只有一行,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.,行阶梯形矩阵B6还称为行最简形矩阵,其特点是：非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为0.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,(2)利用初等行变换,解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.,(3)一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的,而其行阶梯形矩阵却不是唯一的，但是行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.,行最简形矩阵再经过若干次初等列变换可化成标准形.,说明:(1)对于任何矩阵Amn,总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行最简形矩阵一定是行阶梯形矩阵，但行阶梯形矩阵不一定是行最简形矩阵。,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,矩阵F称为矩阵B的标准形.,特点:标准形F的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为零.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,任一个矩阵Amn总可经过初等变换化为标准形,此标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.,三、矩阵的初等变换的性质,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,定理1 设A与B为mn矩阵，那么：的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P，使PA=B.,（3）AB的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.,的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B.,推论 方阵A可逆的充分必要条件是.,当|A|0时,则由 定理1及推论可知，存在可逆矩阵P，使得,(i)式表明A经一系列初等行变换可变成E，(ii)式表明E经同样的初等行变换即变成A-1，利用分块矩阵的形式，(i)、(ii)两式可合并为：,四、矩阵的初等变换的应用,及,(),(),即,对n2n矩阵(A|E)施行初等行变换,当把A变成E的同时,原来的E就变成了A-1.,1.利用初等变换求可逆矩阵的逆阵,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,2.利用初等变换求矩阵A-1B,同样，对矩阵方程 AX=B,其中A为n阶方阵,B为ns 阶矩阵,如果A可逆,则X=A-1B.,考虑分块矩阵(A|B),可得,即,当一系列初等行变换将A化为E 的同时也将B化为了A-1B.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,解:,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,例2:求矩阵X,使AX=B,其中,解:若A可逆,则 X=A-1B.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,所以,作业：P71习题2-53.(3)4.(3)(4)5.(2)（提示见下页）,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,即可求得X=BA-1.,通常更习惯作初等行变换，此时应对(AT|BT)作初等行变换.,即可求得XT=(AT)-1BT=(A-1)TBT=(BA-1)T,从而求得X=BA-1.,第二章 矩阵5 矩阵的初等变换,习题2-5：5（2）提示：,第二章 矩阵6 矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,定义:在mn矩阵A中任取 k 行 k 列(km,kn),位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式.,说明：mn矩阵A的k阶子式共有,定义:设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩,记作 R(A).,规定:零矩阵的秩等于0.说明:mn矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数.,第二章 矩阵6 矩阵的秩,例3:求矩阵A和B的秩，其中,B=,B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,所以B的所有4阶子式全为零.而以三个非零行的第一个非零元为对角元的3阶行列式,所以,R(B)=3.,第二章 矩阵6 矩阵的秩,二、矩阵秩的求法,定理2:若A B,则 R(A)=R(B).,证明不作要求,利用初等变换求矩阵秩的方法:用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,最高阶非零子式.,解:用初等行变换将A化为行阶梯矩阵:,第二章 矩阵6 矩阵的秩,由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.,以下求A的一个最高阶非零子式.,第二章 矩阵6 矩阵的秩,将矩阵A按列分块,A=(a1 a2 a3 a4 a5),则矩阵B=(a1 a3 a5)的行阶梯形矩阵为,由于R(A)=3，可知A的最高阶非零子式为3阶。矩阵A的3阶,所以R(B)=3,故B中必有3阶非零子式,B的3阶子式共有4个.计算B的前三行构成的子式,第二章 矩阵6 矩阵的秩,则这个子式便是A的一个最高阶非零子式.,对于n阶可逆方阵A，因为|A|0,所以 A的最高阶非零子式为|A|,则R(A)=n.,即可逆矩阵的秩等于阶数.故又称可逆(非奇异)矩阵为满秩矩阵,奇异矩阵又称为降秩矩阵.,第二章 矩阵6 矩阵的秩,例5:设,求矩阵A和矩阵B=(A|b)的秩.,分析:设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A|b),则A就是A的行阶梯形矩阵.因此可以从B=(A|b)中同时考察出R(A)及R(B).,解:,第二章 矩阵6 矩阵的秩,所以,R(A)=2,R(B)=3.,说明：此例中的矩阵B为矩阵A和向量b所对应的线性方程组Ax=b的增广矩阵.B1为与Ax=b等价的线性方程组A1x=b1的增广矩阵.A1x=b1的第三个方程为0=1,即矛盾方程,由此可知:方程组A1x=b1无解,故方程组Ax=b也无解.,第二章 矩阵6 矩阵的秩,三、矩阵秩的性质,性质1:0 R(Amn)minm,n;性质2:R(AT)=R(A);性质3:若A B,则R(A)=R(B);性质4:若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A);,性质5:maxR(A),R(B)R(A B)R(A)+R(B)；,性质6:R(A+B)R(A)+R(B).,性质7:R(AB)minR(A),R(B).性质8:若AmnBnl=O,则R(A)+R(B)n.,第二章 矩阵6 矩阵的秩,例6:设n阶方阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵，证明：R(A)+R(AE)=n.,证明:由条件A2=A得,A(AE)=O,再由矩阵秩的性质6结论得:,R(A)+R(AE)=R(A)+R(EA),作业：P77习题2-6 6.(3),第二章 矩阵 本章小结,1.内容提要,第二章 矩阵 本章小结,第二章 矩阵 本章小结,(4)初等变换法.,2.求逆矩阵的方法:,(2)伴随矩阵法:,(3)分块矩阵法；,(1)待定系数法;,第二章 矩阵 本章小结,3.求矩阵秩的方法(1)利用定义(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);(2)初等变换法(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,4.对n阶方阵A，下列说法等价,第二章 矩阵 习题课,例1,设方阵A满足方程,(1),证：,(2),第二章 矩阵习题课,例2 设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+BA,解:由于|A|=1/56 0,所以A可逆,且,第二章 矩阵习题课,由A和(A-1E)均可逆可得:,第二章 矩阵 习题课,例3 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n1.,证明:(1)当A=O时,|A|的所有代数余子式均为0,从而A*=O,故|A*|=0.,当 A O且|A|=0时,用反证法证明.,假设|A*|0,则有A*(A*)1=E,由此得,A=AE=AA*(A*)1=AA*(A*)1=|A|E(A*)1=O,这与A O矛盾,故当|A|=0时,|A*|=0.,第二章 矩阵 习题课,(2)当|A|=0时,则由(1)得|A*|=0,从而|A*|=|A|n1成立.,当|A|0时,由 AA*=|A|E 得,|A|A*|=|AA*|=|A|E|=|A|n,由|A|0得,|A*|=|A|n1.,第二章 矩阵 习题课,有元素的代数余子式之和:,解:因为|A|=20,所以A可逆.又A*=|A|A-1.,第二章 矩阵 习题课,第二章 矩阵 习题课,因为A*=|A|A-1,故A*=2A-1.即,所以,第二章 矩阵 习题课,解:因为 AX=A+2X,所以(A2E)X=A,而,又,例5:设,且AX=A+2X,求矩阵X.,第二章 矩阵 习题课,所以,第二章 矩阵 习题课,证：,从而,例6:设A*为n（n2）阶方阵A的伴随矩阵,证明:(1)当R(A)=n 时,R(A*)=n;(2)当R(A)=n 1 时,R(A*)=1;(3)当R(A)n 1 时,R(A*)=0.,(1)当R(A)=n 时,则|A|0,所以R(A*)=n.,第二章 矩阵 习题课,(3)当R(A)n 1 时,A中所有一个n 1阶子式都,(2)当R(A)=n 1时,则|A|=0,则由矩阵秩的性质8得,R(A)+R(A*)n,因此,R(A*)n-R(A)=n-(n-1)=1.,又由R(A)=n 1知,A中至少有一个n 1阶子式不为零,即A*中至少有一个非零元素,所以R(A*)1,从而R(A*)=1.,所以AA*=|A|E=O.,Thanks!,