大学物理第三章课件.ppt

第 三 章,刚 体 力 学 基 础,3-1 刚体运动的描述,在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。,一、刚体 rigid body,特点：任意两点间的距离始终保持不变。,质点,质点系,刚体,组成刚体的每个质点称为刚体的一个质量元。每个质量元都服从质点力学规律。,刚体可视为无数个连续分布的质点组成的质点系。,理想模型,二、刚体的自由度,确定物体的位置所需要的独立坐标数称为物体的自由度。,质点：,刚体:,刚体有6个自由度(三个平动，三个转动),质心：3个(x,y,z),转轴：2个(,),位置：1个(),当刚体受到某些限制自由度减少,自由运动：3个,在平面上运动：2个,在线上运动：1个,三、刚体运动的几种形式,刚体的基本运动形式：,平动和转动,平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,刚体平动时所有点的运动轨迹都保持完全相同。,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。这条直线称为转轴。,转轴相对参考系静止的转动称为定轴转动。,刚体的平面运动,四、刚体定轴转动的描述,角速度,角加速度,用角量描述,1、刚体定轴转动的特点：,(1)刚体中所有点都在垂直于转轴的平面上绕转轴做圆周运动。,(2)各点在转动平面上运动的角量相同，线量不同。,2、角速度和角加速度,1、角速度和角加速度均为矢量。在刚体定轴转动时可用正负表示。,2、通常规定：沿逆时针方向为正，沿顺时针方向为负。,说明,3、角加速度的方向与角速度增量方向一致，当与同号时，加速转动；与异号时，减速转动。,方向:右手螺旋方向,3、刚体定轴 转动方程,匀变速率圆周运动,特征：,匀速率圆周运动,指向圆心,可用第一章圆周运动的方程,例题 一转速为1800r/min的飞轮，因受制动而均匀地减速，经 20s 停止转动。(1)求角加速度和从制动开始到停止转动飞轮转过的圈数；(2)求从制动开始后 t=10s 时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为0.5m，求在t=10s时飞轮边缘上一点的线速度和切向与法向加速度。,解：,例 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？,解 由题意，令，即，积分,得,当t=300s 时,所以,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在 300 s 内转子转过的转数,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,3-2 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律,一、力矩 moment of force,d,A,力 F 对 Z 轴的力矩,力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向,规定：使刚体沿逆时针旋转的力矩为正，反之为负。,讨论,(1)力对定轴力矩的矢量形式,(2)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,二、定轴转动定律 转动惯量,取刚体内任一质元i，它所受合外力为Fi，内力为fi。,转动惯量,刚体定轴转动定律：,=0,上式两端同乘以ri再求和,1、定轴转动定律,转动惯量 moment of inertia,2、刚体的转动惯量不仅与刚体的总质量有关，而且和质量相对于轴的分布有关。,4、质量均匀分布且形状又规则对称的，可由上式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测得其值。,对于质量连续分布的刚体,定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。,1、物理意义：转动惯性的量度。,3、单位：kgm2,讨论,质量离散分布刚体的转动惯量,(2)对于通过棒中心的轴,例1 求长为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。(1)对于通过棒的一端与棒垂直的轴。(2)对于通过棒的中心与棒垂直的轴。,设 表示单位长度的质量，则,解：,例2 求质量 m，半径 R 的细圆环和均匀薄圆盘对其中心垂直轴的转动惯量。,在圆环上取微元dm,在圆盘取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dm,解:,细圆环：,薄圆盘：,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,四.转动定律的应用,解题要点,2、刚体定轴转动定律的应用,例1 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，且m1 m2，设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无相对滑动，求物体加速度和绳中张力。,解：将三个物体隔离出来受力分析，其中滑轮两端绳的张力并不相等,解：(1)棒在任意位置时的重力矩为：,例2 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为l，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：(1)棒在任意位置时的角加速度；(2)角为300，900时的角速度。,解：(1)物体受力情况如图所示：,(2)设 为组合轮转过的角度，则：=h/r,例3 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r=2r，质量m=2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r=10cm。求：(1)组合轮的角加速度；(2)当物体A上升h=0.4m时，组合轮的角速度。,三、刚体定轴转动的角动量和角动量定理,质点的角动量,力矩的时间累积效应,力的时间累积效应,质点系的角动量,1、刚体绕定轴转动的角动量,刚体中所有质点对转轴的角动量之和称为刚体对转轴的角动量。,2、刚体绕定轴转动的角动量定理,刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量对时间的变化率。,四、定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律,角动量守恒定律：若外力对刚体转轴的力矩之和为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。,讨论,守恒条件：M0,J 不变,不变.,J 减小,增大;J 增大,减小.,内力矩不改变系统的角动量,在冲击等问题中,常量,定轴转动的非刚体的角动量守恒,对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。,有许多现象都可以用角动量守恒来说明，它是自然界的普遍适用的规律。,例题 如图所示，一质量为m的子弹以水平速度v0射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l，质量为M。,解：以子弹和杆为研究系统，相对于轴的角动量守恒,例 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?,解 碰撞前 M 落在 A点的速度,碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度,把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒,解得,演员 N 以 u 起跳,达到的高度,3-3 刚 体 的 能 量,一、刚体定轴转动的动能和动能定理,1、刚体定轴转动的动能,O,P,刚体的总动能,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。,2、刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,3、刚体的重力势能,（其中hc为刚体质心的高度）,结论：刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能。,例1 一长为 l,质量为M的竿可绕支点O自由转动。一质量为m、速率为v 的子弹射入竿内距支点为 a 处，使竿的偏转角为30。问子弹的初速率为多少?,解:把子弹和竿看作一个系统，子弹射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒.,例2 一根长为l、质量为m的均匀细棒，棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的轴转动，棒的另一端有质量为m的小球。开始时棒静止地处于水平位置A。当棒转过 角到达位置 B,棒的角速度为多少?,解：机械能守恒,A,B,解：(1)设物体下落最大距离为h，开始时物体所在位置为重力势能零点，则根据机械能守恒：,例题3 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为7cm，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；(2)物体速度达到最大值的位置及最大速率。,(2)加速度为零时速度最大，设这时物体的速度为v，下落的距离为x，则,根据机械能守恒：,圆锥摆,子弹击入杆,关于系统守恒的讨论,子弹击入沙袋,细绳质量不计,