大学文科数学-张国楚-集合、实数、极限.ppt

第一章 微积分的基础问题,集合、实数、极限,教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。,教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。,教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的概念。,教学时数：6学时。,教学内容：1 极限、实数与集合在微积分中的作用2 实数系的建立及邻域的概念3 变量无限变化的数学模型极限数学家启示录（一）数学之神阿基米德（二）我国古代伟大数学家祖冲之,1 极限、实数与集合在微积分中的作用,从左到右，左边的理论为右边理论的基础。,布置作业,必作题：无选作题：无思考题：推动微积分不断向前发展的因素有哪些？哪些数学家对微积分的完善与发展做出了重大贡献，各自的成就有哪些？,2 实数系的建立及邻域的概念,2.1实数系的演变及性质,（1）是为了使在自然数范围内减法运算也封闭。（2）是为了使在整数范围内除法运算也封闭。（3）数轴上除了有理点之外的成为无理数，合称为实数。有理数集稠密，但不连续；实数集则连续。,2.2刻画极限的邻域概念 与点 的距离小于 的全体实数的集合称为点 的邻域。记作：，称为邻域的中心，称为邻域的半径。这一邻域可用集合符号表示为。如果点 的 邻域 不包括点，则称为点 的去心邻域。,例题：用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定的 的范围。解：,布置作业,必作题：无选作题：无思考题：实数系的演变过程是怎样的？,3 变量无限变化的数学模型极限,3.1数列极限（概念）以正整数为自变量的函数，当n依次取，称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，称为数列的通项。数列常简记为。,1.数列极限的定性描述,定义1：如果n无限增大时，数列 的同项 无限趋近于常数a，则称该数列以a为极限，记作 其中 表示n无限增大，此时也称为该数列收敛；如果 时，不以任何常数为极限，则称数列 发散。,无穷小量：以零为极限的变量称为无穷小量。绝对值无限变大的变量称为无穷大量。常数列的极限仍是该常数。,2.数列极限的定量描述,定义2：如果对于任意正数（无论它有多小），总存在相应的正整数N，使得满足nN的一切n，能使不等式 恒成立，则称数列 以a为极限，记作：,例 证明：,证明：设为任意小的正数，由（不妨设）求N：,取 由前面的推导过程可知，则当nN时，就有,3.数列极限中蕴含的辨证思想,极限的取得是变化过程与变化结果的对立统一。极限是有限与无限的对立统一。极限的取得体现了近似与精确的对立统一。,3.2函数极限,1.自变量 无限趋进于有限数 的情形定义1：设函数 在点 的近旁有定义（在点 处可以无定义）。如果对于任意正数（不管它有多小），总存在相应的正数，使得满足 的一切 能使 恒成立，则称函数 当 时以A极限，记作：，该定义又称为“”定义。,例：证明：。,证明：对任意给定的，要使 成立，只需取，显然当 时，恒成立，所以原式成立。,2.左极限和右极限（不作为讲解内容）,3.自变量的绝对值无限增大时的情形,4.函数极限的性质,3.3无穷小量,1.无穷小量的概念（前面已介绍过）定理：函数f（x）在某个极限过程中以常数A为极限的充分必要条件是，函数f（x）能表示为常量A与无穷小量 之和的形式，f（x）=A+。,2.无穷小量的性质有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。常量与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量。,3.无穷小量阶的比较 如果在某个极限过程中两个无穷小量与之比的极限是非零常数，表明这两个无穷小量趋近于0的速度处于同一个级别，则称与是同阶无穷小；特别地，当这个常数等于1时，则称与是等价无穷小；如果这个常数是0，则是较高阶的无穷小；如果比值趋于无穷，则是较低阶的无穷小。,3.4极限的四则运算,定理：有限个变量代数和的极限等于极限的代数和；定理：有限个变量之积的极限等于极限之积。推论：常数可以提到极限符号外。推论：正整指数幂的极限等于极限的幂。定理：当分母的极限不等于0时，两个变量之商的极限定语极限之商。,例1,求,解,注：,设,则有,完,例 2,求,解,注：,设,且,则有,则商的法则不能应用.,完,例3,求,解,时,分子和分母的极限都是零.,此时应先,消去零因子法,完,例4,计算,解,不能直接使用商的极限运算法则.,但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.,完,定理2(复合函数的极限运算法则),设函数,复合而成,若,则,且在 的某去心邻域内有,注:,则作代换,其中,定理2表明:,完,例7,计算,解,令,则函数,构成的复合函数.,因为,所以,完,可视为由,例8,计算,解,令,则,且,所以,完,解,求,完,例10,求,解,完,解,求,原式,完,例12,求,解,完,解,求,完,解,求,完,例16,求,解,令,于是,注:,本例的结果,今后常作为公式使用.,完,解,求,完,数学家启示录,数学之神阿基米德 阿基米德是古希腊大数学家、大物理学家，公元前287年生于西西里岛的叙拉古，公元前212年被罗马入侵者杀害。（1）阿基米德的主要成就是在纯几何方面；（2）阿基米德是一位运用科学知识抗击敌人入侵的爱国主义者。,我国古代伟大数学家祖冲之 祖冲之（429500），我国南北朝时期的伟大科学家、数学家，生于刘宋文帝元嘉六年，卒于南齐东昏侯永元二年，他天资聪明，勤奋好学。（1）在天文、历法方面，祖冲之制定了“大明历”；（2）在数学方面，祖冲之求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间。（3）在生产应用方面，祖冲之改造了指南车，制作了水推磨等。（4）祖冲之兴趣广泛，在哲学、音乐等方面均有很深的造诣。,布置作业,思考题：阿基米德与祖冲之在数学上都有哪些重大贡献，对我们有哪些启示？,