多元函数的基本概念及性质.ppt
推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,在点 的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,第一节,一、平面点集,三、多元函数的概念,四、多元函数的极限,五、多元函数的连续性,二、n维空间,多元函数的基本概念及性质,一、平面点集,1.邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,。,2.区域,(1)内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点;,则称 P 为 E 的边界点.,的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,(2)聚点,若对任意给定的,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E,也可以不属于 E,(因为聚点可以为,E 的边界点),(3)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集 E E,则称 E 为闭集；,若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.,否则称为无,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,二、n 维空间,n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标.,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O.,的距离记作,中点 a 的 邻域为,规定为,与零元 O 的距离为,三、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义1.设非空点集,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数,记作,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,二元函数的几何意义,研究单值函数,二元函数的图形通常是一张,曲面.如球面等,四、多元函数的极限,定义2.设 n 元函数,点,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n=2 时,记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,说明,(1)定义中,(2)二元函数的极限也叫,(double limit),的方式是任意的；,二重极限.,(3)可推广到n元函数.,例1+.设,求证：,证:,故,总有,要证,例2+.设,求证：,证：,故,总有,要证,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例3.讨论函数,函数,如果，存在，则有：-（g连续）,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例4 知它在(0,0)点二重极限不存在.,例4 求：,解:这里,的定义域为D=(x,y)|x0,yR,点P0(0,2)为D的聚点,由极限运算法则得,解:因,而,此函数定义域不包括 x,y 轴,则,故,例5+,五、多元函数的连续性,定义3.设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 n 元函数,连续.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),例6.求,解:函数,是初等函数，,因D不是连通的，故不是区域,但,是区域，且,所以D1 是f(x,y)的一个定义区域,因,f(x,y)在D1上连续,故,它的定义域为,解:原式,例7.求,例8+.求函数,的连续域.,解:,内容小结,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,性质1（最大值和最小值定理）,一点P2，使得f(P1)为最大值而f(P2)为最小值，即对于,在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上一定有,最大值和最小值这就是说，在 D上至少有一点P1及,一切PD,有,性质2（介值定理）,在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于,最大值和最小值之间的任何值,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的,极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值,就是函数在该点的函数值，即,
