多元函数的微分学-习题.ppt

,微积分A,刻苦 勤奋求实 创新,理学院工科数学教学中心,第八章 多 元 函 数 微 分 学,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。,重点与难点,重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。,难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。,第八章 多元函数微分学,主要内容,解,令,解,设u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.,解:,u=f(x,x3,z),(x2,3lnx,z)=0,易见 z,u均 x 的函数,方程两边对 x 求导数.,得,解,令,记,则方程组为,方程组两端对 x 求偏导数：,方程组两端对 x 求偏导数：,的条件下，方程组有唯一解。,解,则,设,则问题就是在条件,下，,求,的最小值。,构造函数,由(1),(3)得,由(2),(3)得,代入(4)得,已知曲面的方程为,证明：曲面上任一,点处的切平面通过某一定点。,解,设曲面上任一点为 M(x0,y0,z0).,曲面在点 M(x0,y0,z0)处的法向量为,M(x0,y0,z0)是曲面上的点，,因此，,切平面方程,因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点(0,0,0)。,切平面方程,(元).,解得,件，,件，,故惟一驻点(25,17)也是最小值点，它使成本为最小，最小成本为,日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买(甚至不再能买)另一种物品，这样就不可能很令人满意如何花费给定量的钱，才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助“效用函数”来解决这一问题,而当效用函数达到最大值时，人们购物分配的方案最佳,所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x单位、y单位时满意程度的 量常见的形式有,小孙有200元钱，他决定用来购买二种急需物品：计算机磁盘和录音磁带且设他购买x张磁盘，y盒录音磁带的效用函数为,设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果？,例：,解：这是一个条件极值问题，即求在约束 之下的极值点，应用拉格朗日乘数法，定义拉格朗日函数：,解得 为最大值点,根据的实际含义，取 即如果买方12张磁盘和10盒磁带的话，小孙最满意,Good,Bye,