多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念.ppt

-1-,第一节 多元函数的基本概念,一 多元函数的定义二 多元函数的极限与连续性,-2-,一 多元函数的定义,（1）邻域,1 有关区域的概念,定义,-3-,（2）区域,例如，,即为开集,-4-,-5-,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,连通的不是开集,是开集不是连通的,不是闭区域的例子：,去掉边界不是开区域,-6-,有界闭区域；,是无界开区域,例如，,-7-,（3）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,-8-,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,-9-,2 n维空间,n维空间的记号为,说明：,n维空间中两点间距离公式,设两点为,定义,-10-,n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,时，便为数轴、平面、空间两,点间的距离,-11-,3 多元函数的定义,元函数的定义，,记为,定义,(1)二元函数的定义,或,称为函数的自变量，,称为函数的因变量。,说明,相应的可,得出,元函数统称为多元函数.,-12-,例1 求,解,所求定义域为,的定义域,-13-,(2)二元函数,的图形,对应的函数值,这个点集称为二元函数的图形.,二元函数的图形通常是一张曲面.,-14-,例如,-15-,例如,(3)多值函数,在函数的定义中要求对每个,这样的对应关系称为,多值函数，,例如,可分成,和,讨论。,-16-,1 多元函数的极限,二 多元函数的极限与连续性,定义,是其聚点，,总存在正数,使得对于适合不等式,的一切点，且,都有,成立，,在,时的极限，,或,这里,如果对于任意给定的正数,为函数,称,记为,则,-17-,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,确定极限不存在可以找多种,趋向于,的路径，,且,的极限不相等。,（4）求二元函数可以通过转变，化为一元函数的极限,-18-,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,-19-,例3 求极限,解,其中,-20-,例4 证明,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在,-21-,类似可以定义,元函数的极限,定义 设,元函数,的定义域为点集,是其聚点，如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式,的一切点,都有,成立，则称,元函数,在,时的极限，,为,记为,-22-,2 多元函数的连续性,定义,如果,则称,元函数,在点,处连续.,设,是函数,的定义域的聚点，,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D,上连续.,是其聚点且,-23-,解,故函数在(0,0)处连续,-24-,函数,在点(0,0)极限不存在,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,-25-,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,-26-,例6,解,例7 求函数,的连续域.,解:,-27-,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,