含参量无界函数的反常积分.ppt

四、含参量无界函数的反常积分,三、含参量反常积分的性质,二、含参量反常积分一致收敛性的判别,一、含参量反常积分的一致收敛性,2 含参量反常积分,一含参量反常积分一致收敛性,或称含参量反常积分.,定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对,即,充要条件是,的充要条件是,例1 讨论含参量反常积分,的一致收敛性.,于是,而对于任何正数,有,二含参量反常积分一致收敛性的判别,定理19.7(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1),证 必要性,因此,则令,例2 证明含参量反常积分,不一致收敛.,使得,使得,即,收敛之间的联系有下述定理.,关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致,函数项级数,就有,现取,使得,一般地,取,现在考虑级数,注 由定理19.8,含参量反常积分可看作连续型的函,函数项级数.,它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿,我们,下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它,用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷,判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.,魏尔斯特拉斯 M 判别法 设有函数 g(y),使得,证 由于,因此,狄利克雷判别法 设,则含参量反常积分,证,上一致收敛.,阿贝耳判别法 设,(i),则含参量反常积分,例3 证明含参量反常积分,证 由于对任何实数 y 有,例4 证明含参量反常积分,故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在,上一致收敛.,恒有,时,不一致收敛.,三、含参量反常积分的性质,定理19.9(含参量反常积分的连续性),在 J 上一致收敛,则 I(x)在 J 上连续.,函数项级数,连续性定理,函数 I(x)在 J 上连续.,这个定理也证明了在一致收敛的条件下,极限运算,与积分运算可以交换:,定理19.10(含参量反常积分的可微性),由定理19.3推得,项级数,在 J上一致收敛,因此根据函数项级数的逐项求导,定理,即得,或写作,最后结果表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.,上可积.,又由定理19.9的证明中可以看到,函数项级数(13)在,定理19.11(含参量反常积分的可积性)设 在,这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交,换性.(17)式又可写作,这就是(16)式.,根据函数项级数逐项求积定理,有,(ii)积分,中有一个收敛.则必有,也收敛.,证 不妨设(18)中第一个积分收敛,由此推得,根据条件(i)及定理19.11,有,由条件(ii),对于任给的,有,把这两个结果应用到(20)式,得到,使得当 时有,例6 计算,据M判定法,含参量反常积分,上连续,根据定理19.11交换积分(21),的顺序,积分I 的值不变.于是,例7 计算,解 在上例中,令 b=0,则有,又由(22)式,例8 计算,收敛.,由于,考察含参量反常积分,综合上述结果由定理19.10即得,于是有,四、含参量无界函数的反常积分,为含参量x的无界函数反常积分,或简称为含参量反,在 上一致收敛的定义是:,参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法,并讨,读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含,论它们的性质.,