变形的时序分析和频谱分析.ppt

第7章 变形的时序分析和频谱分析,7.1 时间序列分析法的基本理论 7.2 时间序列与灰色系统组合模型 7.3 频域分析方法 7.4 变形动态响应分析 7.5 变形时序分析的应用实例,7.1 时间序列分析法的基本理论,7.1.1 时间序列分析概述,时间序列分析是从具有先后次序的信号中提取有用信息的一门学科，在社会科学、自然科学和过程技术中具有广泛的应用。时间序列分析是一种动态数据分析和处理方法，它认为逐次的观测值是不独立的，可以用观测值之间的自相关性建立动态模型，从而利用已有的观测数据对未来数据进行预测。动态数据的分析预处理，一般是直接由数据本身计算出其统计特征。例如数据的一阶矩与二阶矩。然而，由于一阶矩和二阶矩等统计特征的真值不可能获得，而由数据直接获得的估计一般是劣估计，这在数据较少时尤为突出，这种方法常称为非参数模型法。,从系统辨识的角度来看，有大量的系统无法采用分析法建立数学模型，人们对它的本质的机理也不了解。因此采用时间序列建模的方法可以克服上述困难，既可将观测到的时间序列作为系统的一维或多维的输入和输出，而将模型所描述的等价系统视为在于输出同维白噪声驱动下产生这一输出的系统。,7.1.2 数据的采集,建立建模所需离散的时间序列数据需要对原始数据进行采样。对于原始位移时间序列，由于采用的监测手段不同，得到的原始位移时间序列的形式不同，即离散的原始位移时间序列和连续的原始位移时间序列。对于原始离散时间序列有时也不需要使用样本长度内所有数据，存在确定采样时间间隔 与样本长度L问题。同样，对于连续的情况。,1.非等间隔离散位移时间序列的等间隔处理 对于离散的非时间序列，根据建模所需的时间间隔 将观测得到的非等间隔时间序列等间隔化，具体方法如下：设原始时间序列为,（i=1，2，n（7-1）,则非等间隔位移原始序列各时段的实际间隔为,（7-2）,则可求出平均时间间隔,（7-3）,根据建模的需要也可以用确定的时间间隔。各时段的单位时段差系数,（i=1，2，n（7-4）,进一步求得总的差值,（i=1，2，n（7-5）,于是便得到等间隔时间序列,（i=1，2，n（7-6）,2.非等间隔离散位移时间序列连续化问题 时间序列分析的基础数据一般是离散、等间隔的数据序列，人们对某些系统的观测数据虽然是离散数据，但对离散数据一般也需要重新进行采样。时序分析中数据量很大，若想建立一个统一的插值函数以期反映整个系统的性质，比较困难，例如利用拉格朗日插值法，插值阶数很高时且在两端有非常严重的失真。三次样条函数具有计算的稳定性、最佳逼近性和一致收敛性，在插值过程中具有很好的抗差能力，对于含有误差的数据序列进行插值处理很合适。3.连续位移时间序列采样间隔 的确定 在频域分析中。一个连续的信号x(t)可以分解为不同频率的谐波叠加，在考虑采样时间间隔 的大小时不致影响系统的输出信号的分辨率。因此，对于定长信,号来说，时域中的等分增多，时域的分辨率提高，时域的分析范围不变；与此相应，频域的分析范围提高了，但频域的分辨率并没有改变。设x(t)中所感兴趣的频率成分频带范围为 至，为x(t)中感兴趣频率成分的最高圆频率。根据著名的申农采集定律，不发生混频的条件是,又由于采样频率,则可以得到,由上式可以看出为了正确获得连续信号中的各种频率的有效成分的信息，在最高频率谐波的一个周期内至少采样两次。另外，在确定 取得过大时将影响信号的相关性；二是当 值选取的过小时，又会将高频噪声作为有用的信号。,7.1.3 原始离散数据中异常数据的剔除、滤波处理及累加生成,一般而言，将观测数据中误差分为三类，即系统误差、偶然误差和粗差。系统误差的产生常常不是由于原始数据激发的，通常跟物理方面的因素有关，如观测仪器本身在使用之前缺乏必要的校正或者存在观测者自身的原因等，都会产生系统误差。粗差实际上是一种错误，它们在测量中出现的可能性,一般较小。通常可能由于观测者或操作者的错误，或者仪器处于不正常的工作等都可能产生粗差。按照变形的规律，位移变形的时间序列曲线符合一定的趋势，表现为连续一维空间的渐变模型。与随机误差相比，粗差的存在会导致位移时间序列严重失真甚至完全不能忘接受。因此在对位移时间序列中的粗差剔除上，设计一些算法是完全必要的。,（1）基于经典统计假设理论的统计检验方法趋势法 传统的误差处理都是基于平差原理的，如果不存在平差的问题，也就不可能在平差过程中对粗差进行定位。因此要检查出位移时间序列数据中存在的错误不能简单借用一般的平差方法。,为原始观测位移时间序列，假设 是以第i点 为中心，时间半径为t的所有邻域点的加权平均值，权可取时间平方的倒数，有如下式,，（7-8）（7-9）（7-10）（7-11）（7-12）阈值（7-13）,其中，n为领域中点的数目（i点除外）。大于q的v的观测值，我们就认为其为异常值。i点的邻域半径t可以自行选择，一般不宜太小或太大；k为系数，一般可取23。2.具有抗差性的异常数据判断方法 经典的假设理论不具有抗差性，特别是粗差成簇出现时，剔除的效果不理想。为了解决上述问题，提出中值滤波与基于抗差估计的选权迭代相结合的方法。,（7-14）,可以得到局部方差,（7-15）,根据局部方差确定阈值用于剔除孤立的粗差。然后利用基于抗差估计的选权迭代法，即,（7-16）,其中，X为模型的待定参数向量，B为系数矩阵，P为等价权，L为自由项。,3.中值滤波处理与卷积滤波去噪结合（1）中值滤波中值滤波的原理很简单，数据按降序重排，数组的中值仅仅是中心值，序列经过一个以当前点为中心的窗口，在窗口内所有点的中值替代窗口中心点的值。时间序列上各点都这样替换一遍，就完成了一次中值滤波。,（2）基于卷积的滤波去噪卷积可以在一维空间或二维空间展开，时间序列是一维情况。假设 和 是两个连续函数，其卷积的结果是函数，于是在位置u处 的值可以定义如下式,（7-20）,对于连续时间序列 来说，它是可能包括含随机因素的输入函数，是一正态分布加权函数，是包含数据滤波后的低频信息即光滑函数。一般在实际应用中，t有一定的取值范围，没有必要从负无穷到正无穷。,4.累加生成处理 累加生成处理是灰色理论中一种数据预处理方法。其有两点好处。第一，可使原始离散序列的随机干扰成分在通过累加后得到减弱；第二，可使原始离散序列中云烟的确定信息通过累加后加强。一次累加生成的公式可以表达为（i=1，2，n（7-23）,其中，为原始时间序列，为一次累加生成后的序列。,7.1.4 数据的预处理 数据预处理是对经过粗差检验，滤波处理的观测数据进行处理。下面讨论数据预处理的步骤。,（1）趋势项和周期项的提取（2）平稳性检验与正态性检验 1）平稳性检验 2）正态性检验（3）零均值检验与零化处理（4）标准化处理,7.1.5 自回归滑动平均模型与自回归模型（1）自回归滑动平均模型 自回归滑动平均模型，即ARMA(p,q)模型。对于一个平稳、零均值的时间序列：,（7-36）,其中，是时间需，序列 在 时刻的值，为自回归参数；为滑动平均参数；为残差，当这一方程正确揭示时间序列结构和规律时，则 应为白噪声,（2）自回归模型的参数估计 自回归模型，即AR(p)模型。对于AR(p)模型：,所谓参数估计就是指估计出 这p个参数。参数估计分两种，一种是直接估计法，包括最小二乘估计法、基于自相关系数的最小二乘估计法、Yule-Walker方程估计法和Ulrych-Clayton方法；另一种是递推估计法包括矩阵递推估计法、参数递推估计法和实时递推估计法。无论是对AR(p)还是对ARMA(p,q)模型，在估计完成参数后都要进行吗，模型适用性检验，检验的准则有白噪声检验准则、残差平方和、残差方差、Akaike信息准则等。,