二节换元积分法.ppt

第二节 换元积分法,一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法,一、第一类换元法,例1,原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u,d u=2dx,从而,所以有,综合上述分析，此题的正确解法如下：,解,定理4.2,根据不定积分的定义，则有,公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.,例2 求,解,例3 求,解,用第一换元积分法求不定积分的步骤是：,上述过程可表示为,例4 求,解,还应注意到，在换元积分还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中作变量代换 还需要在被积表达式中再凑出 即 也就是，这样才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为,在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各式中，a，b均为常数，且):,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,类似地，有,例11 求,类似地，有,解,第一换元积分法还适合求一些简单的三角有理式的积分.如计算形如：,的积分，可分两种情况：,例12 求,解,例13 求,解,还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.,例14 求,解法1,解法2,解法3,二、第二类换元积分法,例15 求,解,一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换，把原积分化为 的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.,定理4.3 设f(x)连续,及 均连续,且,并设 为 的反函数,若(t)是 一个原函数,即,则,这就说明了 是的f(x)原函数.,例16 求,解,例17 求,解,第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行,例18 求,解,例19 求,解,例20 求,解,例18例20中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.,一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：,补充的积分公式：,