二节洛必达法则.ppt

第二节 洛必达法则,如果函数，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.,那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.,并分别简记为.这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法洛必达 法则.,一、,定理3.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件：,那么,(2)在点a的某去心邻域内,与 存在,且,由于 可知x=a或者是f(x)，g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.,证,如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0，g(a)=0.从而,由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为端点的区间上，f(x)，g(x)满足柯西中值定理条件.因此,如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新函数F(x)，G(x).,仿上述推证可得,定理3.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件：,证明时，只要令 就可利用定理4.4的结论得出定理4.5.,那么,存在(或为无穷大).,例1,例2 求,例3 求,例4,二、,定理3.6 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,那么,定理3.7 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,那么,例5,例6,三、可化为 型或 型极限,1.如果，则称,对于 型，先将函数变型化为 型或.再由洛必达法则求之.如,或,2.如果,例7,解,例8,解,应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.,例9,说明 如果 型或 型极限中含有非零因子，,如果引入等价无穷小代换，则,例10,注意极限过程为,但是注意到所求极限的函数中含有因子，且，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.,例11,又当 时，故,