《医用高等数学》教案 第4章.ppt

医用高等数学 教案 第四章多元函数微积分,第一节 多元函数第二节 偏导数与全微分第三节 多元函数微分法第四节 多元函数的极值第五节 二重积分,2023/10/31,医用高等数学第四章,第2页,第一节 多元函数,一、空间解析几何简介二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续,2023/10/31,医用高等数学第四章,第3页,一、空间解析几何简介,1.右手法则,2.点的坐标,P(x,y,z),3.任意两点之间的距离,P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则,2023/10/31,医用高等数学第四章,第4页,几类常见的方程,4.,Ax+By+Cz+D=0,(平面方程),(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R 2,(球面方程),x 2+y 2=R 2,(柱面方程),z=x 2+y 2,(椭圆抛物面),z 2=x 2+y 2,(圆锥面),见图 4-3,见图 4-4,见图 4-5,见图 4-6,2023/10/31,医用高等数学第四章,第5页,图形:,球面方程,柱面方程,椭圆抛物面,圆锥面,2023/10/31,医用高等数学第四章,第6页,二、多元函数的概念,定义4-1,其中x、y,称为自变量,z 称为因变量.,函数值 z0=f(x0,y0),在 xOy 平面上使函数 f(x,y)有定义的一切点的集合叫做函数的定义域.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第7页,多元函数.,(补充):邻域,类似地可定义三元及三元以上函数,2023/10/31,医用高等数学第四章,第8页,补充例,求 的定义域.,解,所求定义域为,2023/10/31,医用高等数学第四章,第9页,二元函数 z=f(x,y)的图形,（如下页图）,2023/10/31,医用高等数学第四章,第10页,二元函数的图形通常是一张曲面.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第11页,例如,例如,图形如右图.,右下图球面.,单值分支:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第12页,三、二元函数的极限与连续,1.二元函数的极限定义4-2,设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,P(x,y)是定义域内任一点,当点 P(x,y)以任何路径无限接近于点 P0(x0,y0)时,f(x,y)无限接近于一个定数 A,则称 A 是函数 f(x,y)当 xx0、yy0 或 P(x,y)P0(x0,y0)时的极限,也称为二重极限(double limit).,记作,2023/10/31,医用高等数学第四章,第13页,说明:,确定极限不存在的方法：,(1)定义中 P P0 的方式是任意的；,(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第14页,补充例,证,又,当 x0,y0 时,2023/10/31,医用高等数学第四章,第15页,例4-9,证,1o 当(x,y)沿 x 轴趋于(0,0)时,2o 当(x,y)沿直线 y=kx 趋于(0,0)时,f(x,y)=0;,其值随 k 值的不同而变化,故 f(x,y)的极限不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第16页,补充例:,求证,证,当 时，,原结论成立,2023/10/31,医用高等数学第四章,第17页,补充例:,证,证明 不存在.,取,其值随k的不同而变化，,故 极限不存在,2023/10/31,医用高等数学第四章,第18页,观察,不存在.,播放,2023/10/31,医用高等数学第四章,第19页,2.二元函数的连续性,定义4-3,如果二元函数 z=f(x,y)满足:,(1)在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义;,(2)极限 存在;,则称函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处连续.,如果函数 z=f(x,y)在区域 D 内的每一点上都连续,则称函数 z=f(x,y)在区域 D 内连续.函数的不连续点叫做间断点.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第20页,补充例:,讨论函数,在(0,0)的连续性.,解,取,其值随k的不同而变化,极限不存在.,故 函数在(0,0)处不连续.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第21页,多元初等函数：,由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,2023/10/31,医用高等数学第四章,第22页,一般地,补充例:,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第23页,第二节 偏导数与全微分,一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数四、全微分,2023/10/31,医用高等数学第四章,第24页,一、偏导数的概念,定义4-4,2023/10/31,医用高等数学第四章,第25页,记为:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第26页,偏导函数,常简称为偏导数,2023/10/31,医用高等数学第四章,第27页,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,2023/10/31,医用高等数学第四章,第28页,例4-16,证,原结论成立,2023/10/31,医用高等数学第四章,第29页,例4-18,证,2023/10/31,医用高等数学第四章,第30页,有关偏导数的几点说明：(1)、,(2)、,例如,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第31页,(3)、偏导数存在与连续的关系,例如,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第32页,二、偏导数的几何意义,如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第33页,几何意义:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第34页,三、高阶偏导数,定义:,纯偏导,混合偏导,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第35页,补充例,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第36页,定理4-1,问题:,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,2023/10/31,医用高等数学第四章,第37页,四、全微分,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,2023/10/31,医用高等数学第四章,第38页,全增量的概念,2023/10/31,医用高等数学第四章,第39页,全微分的定义,2023/10/31,医用高等数学第四章,第40页,习惯上,记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,2023/10/31,医用高等数学第四章,第41页,例,解,所以,2023/10/31,医用高等数学第四章,第42页,补充例,解,所求全微分,2023/10/31,医用高等数学第四章,第43页,可微的条件:,定理(1)（必要条件）,2023/10/31,医用高等数学第四章,第44页,说明：,定理(2)（充分条件）,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,2023/10/31,医用高等数学第四章,第45页,多元函数连续、可导、可微的关系,2023/10/31,医用高等数学第四章,第46页,第三节 多元函数微分法,一、复合函数微分法二、隐函数微分法,2023/10/31,医用高等数学第四章,第47页,一、复合函数微分法,定理4-2,设函数 z=f(u,v)是变量 u,v 的函数,而 u 和 v 又是变量 x,y 的函数,u=u(x,y),v=v(x,y),则,z=f u(x,y),v(x,y)是自变量x,y 的二元复合函数.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第48页,函数变量之间的复合关系图:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第49页,类似地再推广:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第50页,特例:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第51页,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,全导数.,如,以上公式中的导数 称为,2023/10/31,医用高等数学第四章,第52页,例4-25,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第53页,补充例,分析,z 是以 x,y 为自变量,以u,v 为中间变量的复合函数,其复合关系图示意如下:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第54页,解,而,因此,同理,2023/10/31,医用高等数学第四章,第55页,例4-26,分析,证明:,z 是以 x,y 为自变量的抽象函数.,则 z=f(u)是以 u 为中间变量,x、y 为自变量的复合函数,其复合关系图示意如下:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第56页,证,已知 f(u)为可微函数,于是,故,2023/10/31,医用高等数学第四章,第57页,例4-28,设z=arctan(xy),而 y=e x,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第58页,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,2023/10/31,医用高等数学第四章,第59页,补充(例4-25)-1,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第60页,多元函数(一阶)微分形式不变性,全微分形式不变性的实质:,无论 z 是自变量 x、y 的函数或中间变量u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第61页,二、隐函数微分法,(1)若 F(x,y)=0,其中 y=f(x).,由全导数公式:,即,则有,2023/10/31,医用高等数学第四章,第62页,(2)F(x,y,z)=0,其中 z=f(x,y).,则,2023/10/31,医用高等数学第四章,第63页,例4-30,求由方程 y xe y+x=0 所确定的 y 作为 x 的函数的导数.,解,令,得,2023/10/31,医用高等数学第四章,第64页,例4-31,求由方程 e z-xyz=0 所确定的函数 z 的偏导数.,解,令 F(x,y,z)=e z-xyz,则,于是,2023/10/31,医用高等数学第四章,第65页,第四节 多元函数的极值,一、二元函数的极值二、条件极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第66页,一、二元函数的极值,播放,2023/10/31,医用高等数学第四章,第67页,定义4-6,极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.,二元函数极值的定义,2023/10/31,医用高等数学第四章,第68页,补充例:,例(3),(1),(2),(3),例(1),例(2),2023/10/31,医用高等数学第四章,第69页,定理4-3(极值存在的必要条件),证,2023/10/31,医用高等数学第四章,第70页,类似地可证,推广,2023/10/31,医用高等数学第四章,第71页,驻点.,定理4-4(极值存在的充分条件),仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第72页,又,则,2023/10/31,医用高等数学第四章,第73页,求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第74页,多元函数的最值,求最值的一般方法：,将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第75页,例4-32,求函数 f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值.,解,解方程组,得驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),2023/10/31,医用高等数学第四章,第76页,列表讨论如下:,2023/10/31,医用高等数学第四章,第77页,例4-33,解,显然,函数在圆周 x2+y2=1 上的值到处是,为求驻点,令,解得 x=0,y=0.,这是函数在圆内的唯一驻点,对应的函数值是 f(0,0)=2,所以函数在点(0,0)处取得最大值 2.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第78页,二、条件极值,(注：此小节内容不讲,略),2023/10/31,医用高等数学第四章,第79页,第五节 二重积分,一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算,2023/10/31,医用高等数学第四章,第80页,一、二重积分的概念与性质,曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,2023/10/31,医用高等数学第四章,第81页,播放:,播放,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2023/10/31,医用高等数学第四章,第82页,步骤如下：,2.用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积.,1.先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域;,曲顶柱体的体积,2023/10/31,医用高等数学第四章,第83页,*求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,2023/10/31,医用高等数学第四章,第84页,2.二重积分的概念,定义4-7,2023/10/31,医用高等数学第四章,第85页,(续上页定义),积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,2023/10/31,医用高等数学第四章,第86页,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第87页,直角坐标系中的面积元素,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,2023/10/31,医用高等数学第四章,第88页,3.二重积分的性质,性质4-1,性质4-2,当 为常数时，,（二重积分与定积分有类似的性质）,2023/10/31,医用高等数学第四章,第89页,性质4-3,性质4-5,对区域具有可加性,性质4-4,若 为D的面积，,若在D上,特殊地,则有,2023/10/31,医用高等数学第四章,第90页,性质4-6,性质4-7,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,2023/10/31,医用高等数学第四章,第91页,二、二重积分的计算,1.直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,X型,2023/10/31,医用高等数学第四章,第92页,(Y型),如果积分区域为:,Y型,2023/10/31,医用高等数学第四章,第93页,讨论:,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,2023/10/31,医用高等数学第四章,第94页,区域的特点,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第95页,例4-36,解,由图知,2023/10/31,医用高等数学第四章,第96页,例,积分区域D由 y=x+2,y=x,y=0,y=2 所围成的区域.,解,由 D 的图可知,2023/10/31,医用高等数学第四章,第97页,例4-38,解法1,其中D是由双曲线 x y=1,直线 y=x 和 y=2 所围成的区域.,先积 y 后积 x.,由图可知上曲线为 y=2,下曲线是由 y=和 y=x 共同构成的,将D分割成两个区域,D1=(x,y)|y2,x1,D2=(x,y)|xy2,1x2,2023/10/31,医用高等数学第四章,第98页,(续上页解法1),2023/10/31,医用高等数学第四章,第99页,解法2,先积 x 后积 y.,由图可知右曲线 x右=y,左曲线 x左=,1 y2,2023/10/31,医用高等数学第四章,第100页,例4-39,如先对 y 后对 x 积分,其中D是由 y=x,y=1 与 y 轴 所围成的区域.,解,由图可知,上曲线为 y上=1,下曲线为 y下=x,于是,由于函数 的原函数不是初等函数,通常称,是积不出的,因此二重积分,化为先对 y,后对 x 的二次积分,计算不出.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第101页,考虑先对 x 后对 y 的积分,左曲线为 x左=0,右曲线为 x右=y,因此,由图可知,2023/10/31,医用高等数学第四章,第102页,补充例1,解,积分区域如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第103页,补充例2,解,积分区域如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第104页,补充例3,解,原式,2023/10/31,医用高等数学第四章,第105页,补充例4,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第106页,2.极坐标系下的二重积分的计算,2023/10/31,医用高等数学第四章,第107页,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第108页,区域特征如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第109页,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第110页,二重积分化为二次积分的公式（）,极坐标系下区域的面积,区域特征如图,2023/10/31,医用高等数学第四章,第111页,补例 1,其中区域D=(x,y)|1x 2+y 2 4,解,如图,积分区域D为:12,02.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第112页,补例 2,(x,y)|1x 2+y 2 9 且 y x,解,如图,积分区域D为:13,其中区域D=,2023/10/31,医用高等数学第四章,第113页,补例 3,其中区域D=(x,y)|x 2+y 2 2x,解,如图,积分区域D为:01,0 2.,区域边界可用(x-1)2+y2=1,2023/10/31,医用高等数学第四章,第114页,补充例1,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第115页,补充,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第116页,(续上页),2023/10/31,医用高等数学第四章,第117页,(续上页),2023/10/31,医用高等数学第四章,第118页,补充例4,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第119页,补充,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第120页,补充,解,2023/10/31,医用高等数学第四章,第121页,(续上页),2023/10/31,医用高等数学第四章,第122页,二重积分的几何意义,为曲顶,有界闭区域 D 为底的曲顶柱体的体积,其中 D 为柱体在 xOy 平面上的投影.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第123页,补充例7,求球体 x 2+y 2+z 2=R 2 的体积.,解,第一卦限部分球面在xOy 平面上的投影区域,其曲顶柱体的方程,则 球体的体积,作极坐标变换:,于是,2023/10/31,医用高等数学第四章,第124页,1,不存在.,观察,2023/10/31,医用高等数学第四章,第125页,2,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第126页,3,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第127页,4,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第128页,5,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第129页,6,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第130页,7,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第131页,8,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第132页,9,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第133页,10,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第134页,11,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第135页,12,观察,不存在.,2023/10/31,医用高等数学第四章,第136页,1,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第137页,2,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第138页,3,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第139页,4,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第140页,5,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第141页,6,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第142页,7,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第143页,8,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第144页,9,一、二元函数的极值,2023/10/31,医用高等数学第四章,第145页,1,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2023/10/31,医用高等数学第四章,第146页,2,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2023/10/31,医用高等数学第四章,第147页,3,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2023/10/31,医用高等数学第四章,第148页,4,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2023/10/31,医用高等数学第四章,第149页,5,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,2023/10/31,医用高等数学第四章,第150页,6,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,