高等数学课件-D9习题.ppt
2023/10/31,同济版高等数学课件,第九章,习题课,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,2023/10/31,同济版高等数学课件,一、基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的关系,2023/10/31,同济版高等数学课件,思考与练习,1.讨论二重极限,解法1,解法2 令,解法3 令,时,下列算法是否正确?,2023/10/31,同济版高等数学课件,分析:,解法1,解法2 令,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1.,第二步,未考虑分母变化的所有情况,2023/10/31,同济版高等数学课件,解法3 令,此法忽略了 的任意性,极限不存在!,由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点.,特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在.,2023/10/31,同济版高等数学课件,提示:利用,故 f 在(0,0)连续;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.,2.证明:,2023/10/31,同济版高等数学课件,而,所以 f 在点(0,0)不可微!,2023/10/31,同济版高等数学课件,例1.已知,求出 的表达式.,解法1 令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,2023/10/31,同济版高等数学课件,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.利用一阶微分形式不变性,2023/10/31,同济版高等数学课件,例2.设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(1999 考研),2023/10/31,同济版高等数学课件,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,2023/10/31,同济版高等数学课件,例3.设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,2023/10/31,同济版高等数学课件,练习题,1.设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,2.P130 题12,2023/10/31,同济版高等数学课件,解答提示:,第 1 题,2023/10/31,同济版高等数学课件,2023/10/31,同济版高等数学课件,P130 题12 设,求,提示:,利用行列式解出 du,dv：,2023/10/31,同济版高等数学课件,代入即得,代入即得,2023/10/31,同济版高等数学课件,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,(2001考研）,3.设,2023/10/31,同济版高等数学课件,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,3.在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,2023/10/31,同济版高等数学课件,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.,解:设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,2023/10/31,同济版高等数学课件,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,设拉格朗日函数,切平面在三坐标轴上的截距为,2023/10/31,同济版高等数学课件,令,由实际意义可知,为所求切点.,唯一驻点,2023/10/31,同济版高等数学课件,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解:设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,2023/10/31,同济版高等数学课件,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,2023/10/31,同济版高等数学课件,上求一点,使该点处的法线垂直于,练习题：,1.在曲面,并写出该法线方程.,提示:设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,2023/10/31,同济版高等数学课件,2.在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示:设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体体积,V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,故取拉格朗日函数,例4,(见例4),2023/10/31,同济版高等数学课件,3.设,均可微,且,在约束条件(x,y)0下的一个极值点,已知(x0,y0)是 f(x,y),下列选项正确的是(),提示:设,(),代入()得,D,(2006考研),2023/10/31,同济版高等数学课件,作业,P129 5，6，10，15，17,
