行列式和线性方程组的求解.ppt
,几何与代数,主讲:关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,自主学习,如何学好,做好预习复习,多看多练多想,工科基础,考研基础,期末成绩占 90%,平时成绩占5%,分配时间,学习方法,数学试验占5%,未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习(Study,not learn)的人 _Alvin Toffler(未来学家),怎样做(How?),为什么这样做(Why?),不这样做可以吗(Other ways?),应试型学习应用型学习,按时完成作业 A B C,思维训练,趣味思考题,掌握三基基本概念(定义、符号)基本理论(定理、公式)基本方法(计算、证明)提前预习体会思路多动手，勤思考深入体会思想方法培养自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力,学习方法,返回,训练思维，塑造学生内在素质,1.学会观察，发现规律,2.培养耐心与坚韧的性格,书写计算非常繁琐，需要足够的耐心与细心,3.培养学生的发散思维,将结论做为条件进行倒推,一题多解，多解归一，多题归一,培养学生多角度看问题,利用精炼的语言艺术归纳、比拟,探讨变换问题条件,转换思考角度，训练思维的求异性,5.培养学生化繁为简的思考模式,6.培养学生分析问题的能力,非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力,4.转化思想，训练思维的联想性,返回,课程内容与结构,一、线性代数,主要任务就是求解并应用线性方程组,二、空间解析几何,三、两者关系：,数量关系,在三维空间中:,空间形式 点,线,面，二次曲面,基本方法 坐标法;向量法,坐标,方程（组）,三维n维,ch1,核心工具初等变换,n 维 空 间,成功的五要素空间,第一、目标,第二、胸怀,第三、勇气,第四、坚持,第五、聪明,创业老板成功十意识空间,一、创造梦想、发现机遇的意识,二、凝聚梦想、专注热爱的意识,三、学习新知、进取提升的意识,四、坚持社会公理、科学理性思维的意识,五、突破陈规、创新创造的意识,六、平和心态、调节情绪的意识,七、关注细节、紧盯结果的意识,八、改造员工、影响他人的意识,九、敢担责任、直面挑战的意识,十、居安思危、自省自警的意识,线 性 代 数,一、主要任务,解线性方程组,线性方程组,方程间的关系,向量间的关系,矩阵的性质和运算,行列式的运算,返回,二、主要问题,应用线性方程组,求方阵的特征值特征向量,方阵的相似对角化问题,实对称矩阵的正定性,三、重点难点,向量组的线性无关性,矩阵的秩,核心工具初等变换,线性方程组：,(2)2(1)可得：,1/3(2)可得：,(1)(2)可得：,高斯消元法：,(2)+k(1)(k0),k(2)(k0),(1)(2),初等变换,线性代数的核心工具,经济政策模型,返回Det,LE,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,线性方程组的应用:平面的位置关系 电路 化学方程式配平 交通流量 营养配方 搜索引擎 投入产出模型,1973 Nobel经济学奖,1.1 二阶、三阶行列式,一.排列的逆序数,二.n阶行列式的定义,三.行列式的转置,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当 a11a22a12a21 0 时,1.1 二阶、三阶行列式,则当D=a11a22a12a21 0时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,方程组有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,=a11b2b1a21,二阶行列式的对角线法则,Cramer法则,例,三阶行列式的对角线法则,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2,每项都是三个元素的乘积.,每项的三个元素位于不同的行列.,问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗?,a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4c1 c2 c3 c4d1 d2 d3 d4,对角线法则可得八项的代数和；,每项的四个元素位于不同的行列 可得 4！=24 项的代数和.,产生矛盾,否,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,a3b2c1a1b3c2a2b1c3,二.三阶行列式的特点,每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积.,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.,将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于1,2,3的6种排列.,各项系数与列标的排列的逆序数有关.,(1)1,对换2次,对换1次,(1)2,问题:如何利用二三阶行列式的其他特点计算四阶以上行列式?,对换的次数称为逆序数.,(1)0,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33,排列j1 j2 j3的逆序数,对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,1.逆序数,逆序：违反从小到大的正常顺序,一个排列的逆序数:所有数的逆序数的总和.,奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列.,逆序数k：设i1 i2 ik in是1n的一个排列,则ik在此排列中的逆序数k为排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,三.排列的逆序数与奇偶性,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,对换(变成12n)的次数称为逆序数.,例1.求下列排列的逆序数(1)32514,(2)n(n1)(n2)321,(3)(2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,2.对换,对换:对调排列中的任两个元素,其余元素不动.,相邻对换:将相邻的两个元素对换.,逆序数k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,定理1.1.每一个对换都改变排列的奇偶性.,推论.n2时,n个元素的所有排列中,奇、偶 排列各占一半,即各有n!/2个.,注:任一相邻对换都改变排列的奇偶性.,任一对换都可通过奇数次相邻对换来实现.,a1 al ab1 bm b c1 cn,a1 al ab b1 bm c1 cn,a1 al b b1 bm a c1 cn,a1 al ab1 bm-1bbm c1 cn,a1 al bab1 bm c1 cn,a1 al bb1a bm c1 cn,对换m次,对换m+1次,共对换2m+1次,a1 al ab b1 bm,a1 al ba b1 bm,若ab,则a=a,b=b1,若ab,则a=a+1,b=b,=1.,=+1.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,1.1-2 方阵的行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,三.排列的逆序数与奇偶性,四.n阶行列式的定义,1.逆序数,2.对换：,1.n阶行列式的定义,2.几个特殊的行列式,二.三阶行列式的特点,每一个对换都改变排列的奇偶性.,第一章 行列式和线性方程组的求解,3.行列式的转置,对角线法则,1.n阶行列式的定义,注:n阶行列式是 n!项的代数和.,四.n阶行列式的定义（Determinant）,n阶行列式是定义在nn个数集合(n阶方阵)上的一个函数，即 f(A)=detA:Rnn R.,当n=1时,一阶行列式|a11|=a11,有正负号.,排列j1 j2 jn的逆序数,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,2.几个特殊的行列式,=a11a22ann,a1n a2,n1an1,(1)对角行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,第二章 矩阵运算和行列式,(2)上(下)三角形行列式,=a11 a22ann,=,2.2 方阵的行列式,=,a1na2n-1an1,第二章 矩阵运算和行列式,例1.证明f()是的n次多项式,并求n,n1的系数及常数项.,f()=,d1=(a11)(a22)(ann),f(0),2.2 方阵的行列式,=(1)n|A|,=(1)n,=|A|,3.n阶行列式的另外一种定义,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.,=a11 a22 a33,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,+a31 a12 a23,+a21 a32 a13,a11 a32 a23,a21 a12 a33,a31 a22 a13,3.n阶行列式的另外一种定义,证明：,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,行列标逆序数之和的奇偶性不变,4.行列式的转置(Transpose),性质1|AT|=|A|.,记|A|=,|AT|=,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,或|A|=,=|B|,1.1-2 方阵的行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,三.排列的逆序数与奇偶性,四.n阶行列式的定义,二.三阶行列式的特点,|A|:Rnn R,Ex.,第一章 行列式和线性方程组的求解,=|AT|,对角线法则,(A)填空题选择题：作为课下练习,一.(A)1(1-7),(B)1,2,3,(B)留作业,每周三交作业,(C)课下提高题：有时间的话尽量做,趣味思考题,试证明在二维平面上，2阶行列式 的绝对值是以=(a11,a21),=(a12,a22)为邻边的平行四边形的面积。,提示：在二维平面上，,=(a11,a21),=(a12,a22),(1)试计算=(a12,a22)=(a11,a21)时的平行四边形面积；,(3)试说明 与D的关系；,(2)试说明 与D的关系；,
