期权无套利定价关系.ppt
第6章 期权无套利定价关系,6.1 金融衍生工具的收益函数6.2 欧式期权价格的下限和平价关系6.3 美式期权价格的下限和平价关系6.4 期货期权无套利定价关系6.5 市场之间的无套利定价关系,远期、期货和互换交易双方不能违约，因此交易双方不交纳费用。而期权的买方可以不执行期权，为了弥补期权卖方的损失，期权的买方必须交纳期权费。在不存在套利机会的情况下，期权的定价关系有三种，下限关系，看涨看跌平价关系和市场价格关系。标的资产的持有成本有两种计算方法，连续复利收益和离散复利收益。,6.1 收益函数,为了利用金融衍生工具套期保值，我们先介绍每种金融衍生工具的收益函数，这些金融衍生工具包括：远期、期货、期权和组合的收益函数。6.1.1 资产持有资产就相当于持有资产远期，远期的执行价格等于资产的持有成本。持有资产远期多头的收益函数为：持有资产多头的盈亏平衡点为。如果资产的到期价格大于初始价格和持有成本，多头收益为正，因为资产的价格上涨没有限制，因此多头的收益也没有限制。如果资产的到期价格小于资产的初始价格加持有成本，多头就亏损。,资产空头的收益函数正好与多头相反。空头的盈亏平衡点与多头相同。如果资产的到期价格小于初始价格和持有成本，空头收益为正，因为资产的价格下限为零，因此空头的收益也有限制。如果资产的到期价格大于资产的初始价格加持有成本，多头就亏损，因为资产的到期价格没有上线，因此空头的损失没有限制。,6.1.2 远期假设远期的执行价格为f，标的资产的到期价格为ST。远期合约买方的收益为：当远期合约的执行价格等于标的资产的持有成本时，远期合约没有套利机会。远期合约卖方的的收益为：,6.1.3 期货期货多头的收益函数与远期的收益函数实际上是完全一样的，不同的是把远期中的资产持有成本换成期货执行价格。事实上期货的执行价格就等于标的资产持有成本，。期货多头的收益函数为：期货空头的收益等于期货多头的损失，收益函数为：期货合约的盈亏平衡点为标的资产的到期价格等于期货价格，。,6.1.4 看涨期权期权的买方为了获得买入和卖出标的资产的权利，必须交纳期权费。持有期权不能获得标的资产的收益，也不支付标的资产的存储成本。持有期权的成本只有利息。如果期权的期限为T，执行价格为X，标的资产的到期价格为ST，欧式看涨期权的价值为cE，欧式看跌期权的价值为pE。到期时看涨期权买方的收益为：,看涨期权卖方的收益等于买方的损失，卖方的收益函数为：如果标的资产的到期价格大于执行时，卖方的亏损额为；如果标的资产的到期价格小于等于执行价格，卖方的收益等于期权费；如果标的资产的到期价格等于盈亏平衡点，卖方的收益等于零。,6.1.5 看跌期权到期时看跌期权买方的收益为：如果标的资产的到期价格大于执行价格，买方损失全部期权费；如果标的资产的到期价格小于等于执行价格，买方的收益为；如果标的资产的到期价格等于盈亏平衡点，买方的收益为零。因为标的资产的价格没有上限，因此看跌期权买方的损失也没有上限。,看跌期权卖方的收益等于买方的损失，收益函数为：如果标的资产的到期价格大于执行价格，卖方的收益为期权费；如果标的资产的到期价格小于等于执行价格，卖方的损失为；如果标的资产的到期价格等于盈亏平衡点，卖方的收益为零。因为标的资产的价格没有上限，因此看跌期权卖方的损失也没有上限。,6.1.6 买入看涨期权卖出看跌期权为了弥补买入看涨期权费用，有时投资者买入看涨期权的同时卖出看跌期权。假设看涨期权和看跌期权的执行价格相同，组合总收益为：如果标的资产的到期价格大于执行价格，组合资产的收益大于看涨期权的价值，差额为看跌期权的价值。如果标的资产的到期价格小于等于执行价格，组合资产的损失大于看跌期权的损失，差额为看涨期权的价值。,6.1.7 买入标的资产买入看跌期权如果买入标的资产，为了规避标的资产价格下跌的风险，同时买入看跌期权,称之为保障型看跌期权。投资组合的收益为：,6.2 欧式期权价格的下限和平价关系,资产的持有成本有利息成本和非利息成本/收益，假设这两种成本都是连续复利。利息持有成本用 表示，非利息持有成本用 表示。如果资产带来利息收入，收益率为正，；如果资产有存储成本，收益率为负，；如果，资产的持有成本只有利息成本，没有费利息成本。为了方便起见，我们把连续复利收益和离散复利收益两种情况下的期权价格下限和平价关系列于下表。,6.2.1 欧式看涨期权的价格下限假设标的资产的当前价格为，在连续复利假设下，欧式看涨期权的价格下限为：欧式看涨期权的买方买入一项执行期权的权利，而没有义务，看涨期权的价值必须大于等于零。在购买期权时，没有套利机会。为了证明第二项，我们假设卖出标的资产，买入看涨期权，买入无风险债券。到期时，标的资产的价值为，债券的价值为。到期时组合的价值分两种情况，当时，看涨期权的价值为零，放弃执行期权，资产组合的价值为；当时，看涨期权的价值为，资产组合的价值为零。,表6-1 欧式看涨下限组合交易,我们构建的投资组合在到期时的价值大于等于零。在不存在套利机会的前天下，该投资组合的初期投资最大值为零。因此看涨期权的下限为：期权的下限被称为内在价值：期权的市场价格与内在价值之差称为期权的时间价值。欧式看涨期权的时间价值为：,6.2.2 欧式看跌期权的价格下限欧式看跌期权的价格下限为欧式看跌期权的价值大于零，是显而易见的，因为获得一项权利就必须付出代价。为了证明，我们构造一个投资组合，买入标的资产，买入看跌期权，卖出无风险债券。到期时标的资产的价值为，债券的价值为。如果，看跌期权的价值为，投资组合的价值为零；如果，看跌期权的价值为零，投资组合的价值为。,表6-2 欧式看跌下限组合交易,因为投资组合到期时的价值大于等于零，初期投资组合的价值必定小于等于零，否则存在套利机会。因此,6.2.3 欧式看涨看跌期权平价关系欧式看涨看跌期权平价关系为：为了证明上述关系的成立，我们假设投资者初期买入标的资产 和看跌期权，卖出看涨期权 和无风险债券，期限为 年。到期时标的资产的价值为，无风险债券的价值为。下面分两种情况讨论投资组合到期时的价值。,表6-3 欧式看涨看跌期权平价关系组合交易,当 时，看跌期权的价值为，看涨期权的价值为零。投资组合的总价值为：当 时，看跌期权的价值为零，看涨期权的价值为。投资组合的价值为：既然到期时投资组合的终值等于零，投资组合的初值也应该等于零，即欧式看涨看跌期权平价关系成立。,表6-6 欧式期权价格下限和平价关系连续复利收益 看涨期权下限看跌期权下限看涨看跌平价关系离散复利收益 看涨期权下限限看跌期权下限看涨看跌平价关系,6.3 美式期权价格的下限和平价关系,和欧式期权一样，美式期权也存在价格上下限和平价关系。6.3.1 美式看涨期权的价格下限欧式期权在到期日执行，而美式期权在到期日之前任何时间都可以执行。美式期权的灵活性使其价值大于欧式期权的价值。假设美式看涨期权的价值用 表示，则假设美式期权的标的资产、执行价格和有效期限与欧式看涨期权相同，美式期权的价格下限为：美式看涨期权价格下限中的前两项与欧式看涨期权相同。,下面讨论第三项，这是立即执行美式期权所获得的收益，。如果，买入看涨期权并立即执行，获得无成本套利收益。如果括号中的第三项大于第二项，提前执行美式看涨期权是有利的。如果括号中的第二项大于第三项，推迟执行美式期权是有利的。如果到期执行美式看涨期权，美式看涨期权的价值等于欧式看涨期权的价值。,6.3.2 美式看跌期权的价格下限美式看跌期权持有者有权提前执行美式看跌期权。对于同一资产的看跌期权，如果期限相同，执行价格相同。因此美式看跌期权的价值 大于欧式看跌期权的价值。美式看跌期权的下限为：美式看跌期权可以到期执行，也可以现在执行，因此美式看跌期权的下限中多了一项，。,如果，投资者可以买入美式看跌期权并立即执行，获得的无成本套利利润为。同理，如果括号中的第三项大于第二项，提前执行美式看跌期权是有利的。如果括号中的第二项大于第三项，推迟执行美式期权是有利的。如果到期执行美式看跌期权，美式看跌期权的价值等于欧式看跌期权的价值。,6.3.3 美式看涨看跌期权平价关系因为美式期权可以提前执行，使得美式看涨看跌期权平价关系更复杂。,表6-7 美式期权价格下限和平价关系连续复利收益 看涨期权下限看跌期权下限看涨看跌平价关系离散复利收益 看涨期权下限看跌期权下限看涨看跌平价关系,6.4 期货期权无套利定价关系,与普通期权一样，期货期权也存在无套利定价关系。与普通期权不同的是期货期权在执行时，看涨期货期权的买方获得多头头寸，看跌期权的买方获得空头头寸。,可以用前面的方法证明期货期权的价格下限和定价关系。表6-8 欧式和美式期货期权无套利定价关系 欧式期权 看涨期权下限看跌期权下限看涨看跌平价关系 美式期权 看涨期权下限看跌期权下限看涨看跌平价关系,6.5 市场之间的无套利定价关系,资产期权和资产期货期权可以同时交易。芝加哥期权交易所交易S&P500指数期权，同时芝加哥商品交易所交易S&P500指数期货期权。假设资产期权和资产期货期权的期限相同，执行价格相同，可推导出两种期权之间的无套利定价关系。6.5.1 欧式期权对于欧式期权，资产期权的价值等于期货期权的价值，即,为了说明证明公式，我们假设买入资产看涨期权，卖出资产的期货期权。到期时资产价格为，等于期货价格。到期时，如果，资产期权和期货期权的价值都等于零，资产组合的价值为零；如果，资产期权的价值为，和期货期权的价值为，资产组合的价值为零。时刻的组合价值为零，初期投资组合价值也为零。因此，在不存在无成本套利机会的情况下，资产看涨期权的价值等于期货期权的价值。,表6-9 欧式看涨看跌期权平价关系组合交易,同理我们可以证明。,6.5.2 美式期权对于美式资产期权和美式期货期权分两种情况。（1）如果，则首先证明。因为美式资产期权和美式期货期权都可能提前执行，立即执行资产看涨期权的收益为，立即执行期货看涨期权的收益为，因为，所以。因此。然后证明。立即执行资产看跌期权的收益为，立即执行期货看跌期权的收益为，因为，所以。因此。,（2）如果，则证明的方法与前面相同,表6-10 资产期权与期货期权价格之间的无套利关系,，,本章小结投资者买入标的资产、远期合约、期货合约、期权合约的投资收益等于卖方的损失。因为标的资产没有价格上限，因此标的资产、远期合约、期货合约、看涨期权合约买方的收益没有上限。买入看涨期权同时卖出看跌期权相当于买入标的资产。买入标的资产同时买入看跌期权相当于买入看涨期权。欧式看涨期权的价值大于零，同时大于标的资产价格和执行价格现值之差。欧式看跌期权的价值大于零，同时大于执行价格和标的资产价格现值之差。欧式看涨期权和看跌期权价值之差等于标的资产价格和执行价格现值之差。,由于美式期权的执行时间比欧式期权灵活，美式期权的价值大于欧式期权的价值。美式看涨期权的价值大于标的资产的当前价格与执行价格之差，美式看跌期权的价值大于执行价格与标的资产当前价格之差。美式看涨期权与看跌期权价格之差等于标的资产的到期价格与执行价格之差。欧式期货期权与欧式期权有类似的性质，美式期货期权与美式期权有类似的性质。资产期权和资产期货期权可以同时交易，这两种期权的市场价格相互影响。如果期限相同、执行价格相同，欧式资产期权的价值等于欧式期货期权的价值。对于美式，由于资产的现货价格与期货价格不同，资产期权的价值不等于期货期权的价值。,
