高等数学课件-D63物理应用.ppt
2023/10/31,同济高等数学课件,第三节,一、变力沿直线所作的功,二、液体的侧压力,三、引力问题,四、转动惯量(补充),定积分在物理学上的应用,第六章,2023/10/31,同济高等数学课件,一、变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 x a 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x)在区间,上所作的功为,2023/10/31,同济高等数学课件,例1.,一个单,求电场力所作的功.,解:,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为,则功的元素为,所求功为,说明:,位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,2023/10/31,同济高等数学课件,例2.,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反比,即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,2023/10/31,同济高等数学课件,例3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?,解:建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,(KJ),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,2023/10/31,同济高等数学课件,面积为 A 的平板,二、液体的侧压力,设液体密度为,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.,平板一侧所受的压力为,2023/10/31,同济高等数学课件,小窄条上各点的压强,例4.,的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.,解:建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性,侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,2023/10/31,同济高等数学课件,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,2023/10/31,同济高等数学课件,三、引力问题,质量分别为,的质点,相距 r,二者间的引力:,大小:,方向:,沿两质点的连线,若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.,2023/10/31,同济高等数学课件,例5.,设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.,解:建立坐标系如图.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故铅直分力元素为,在,试计算,2023/10/31,同济高等数学课件,利用对称性,棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,棒对质点的引力的铅直分力为,2023/10/31,同济高等数学课件,说明:,2)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处,1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为,方向与细棒垂直且指向细棒.,移到 b(a b)处时克服引力作的功,则有,2023/10/31,同济高等数学课件,引力大小为,注意正负号,3)当质点位于棒的左端点垂线上时,2023/10/31,同济高等数学课件,四、转动惯量(补充),质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为,的质点系,若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决.,关于轴 l 的转动惯量为,2023/10/31,同济高等数学课件,例6.,求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;,求圆盘对直径所在轴的转动惯量.,解:建立坐标系如图.,设圆盘面密度为.,小圆环质量,对应于,的小圆环对轴 l 的转动惯量为,故圆盘对轴 l 的转动惯量为,设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,2023/10/31,同济高等数学课件,平行 y 轴的细条,关于 y 轴的转动惯量元素为,细条质量:,故圆盘对y 轴的转动惯量为,取旋转轴为 y 轴,建立坐标系如图.,2023/10/31,同济高等数学课件,内容小结,(1)先用元素法求出它的微分表达式 dQ,一般元素的几何形状有:,扇、片、壳 等.,(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.,1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:,2.定积分的物理应用:,变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.,条、段、环、带、,2023/10/31,同济高等数学课件,(1999考研),思考与练习,提示:作 x 轴如图.,1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每,在提升过程中污泥,以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问,克服重力需作多少焦耳(J)功?,已知井深30 m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由,抓起污,x 提升 dx 所作的功可分为三部分:,米重50N,2023/10/31,同济高等数学课件,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重:,抓斗升至 x 处所需时间:,克服抓斗自重:,2023/10/31,同济高等数学课件,2.设星形线,上每一点处线密,度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.,在点O 处有一单,位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.,2023/10/31,同济高等数学课件,同理,故星形线在第一象限的弧段对该质点的,习题课,引力大小为,作业:P291 2,3,5,9,12,2023/10/31,同济高等数学课件,锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.,备用题,斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于,解:选取坐标系如图.,设斜边长为 l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为,问斜边与水面交成的,2023/10/31,同济高等数学课件,故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求.,由实际意义可知最大值存在,即,
