高等数学微积分课件-65广义积分初步.ppt

1,6.5广义积分初步,一、无穷限积分二、瑕积分三、函数在本节中我们将推广定积分定义,以便解决一些诸如“开放型平面图形面积”等问题。,x=b+,x=2-0+,2,无穷限积分,定义：设函数f(x)在区间a,+)上连续,对任意实数b(其中ba)称,为函数f(x)在区间,a,+)上的广义积分,记作,(1),若(1)中极限存在,则称广义积分,若(1)中极限不存在,则称广义积分,即,收敛。,发散。,类似地，,3,例题与讲解,例：计算广义积分,解,则广义积分的计算可简记为：,如果F(x)为连续函数f(x)的一个原函数，记,4,例题与讲解,例：计算广义积分,解,5,例题与讲解*,例：计算广义积分,解,6,例题与讲解,例：证明广义积分,在p1时，收敛；p 1时，发散。,证,时，,时，,因此，该广义积分当p1时收敛，其值为,当p 1时发散。,7,例题与讲解,例：证明广义积分,发散。,证 因,发散。,故,注意：,虽然,为奇函数，,但,8,无界函数的广义积分(瑕积分),定义：设f(x)在区间(a,b上连续,而,称,为f(x)在区间(a,b上的广义积分,记作,即,若式(2)中极限不存在,称广义积分,若式(2)中极限存在,则称广义积分,收敛；,发散。,类似地:,当(3)右边的两积分都收敛时,才称广义积分,收敛；否则称发散。,9,例题与讲解,例:计算广义积分,解,10,例题与讲解,例：证明广义积分,发散。,证,即证明广义积分,发散,例：,因为,所以,发散。,发散。,11,函数一个重要的广义积分,定义：广义积分,是参变量t的函数，称为函数。,函数的重要性质：(t+1)=t(t)特别,(n+1)=n！,证明：,12,函数表,1,2区间上的函数值可通过函数表查表得到,而对于t0的其它函数值均可由下面递推公式转化到1,2区间内：,例：,13,小结,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分（瑕积分）,（注意：不能忽略内部的瑕点）,函数及其重要性质(t+1)=t(t),14,练习,1.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；,解答,2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；,解答,3.当k为何值时,广义积分,收敛,k为何值时,广义积分发散,k为何值时广义积分取最小值？,解答,15,练习解答,1.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；,返回习题,16,练习解答,2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；,返回习题,17,练习解答,2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；,返回习题,18,练习解答,3.当k为何值时,广义积分,收敛,k为何值时,广义积分发散,k为何值时广义积分取最小值？,19,续上页,返回习题,