高等数学(微积分)课件-62微积分基本定理.ppt

1,6.2微积分基本定理,通过定义来求定积分通常是较困难的，我们将设法寻找其它计算途径。我们已经知道，原函数与定积分是从两个角度引进来的概念。但是，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，发现了它们之间的联系，从而定积分的计算将通过不定积分来完成。,2,积分上限的函数,设函数f(x)区间a,b上连续,并且设x为a,b上的任意一点.现在我们考察f(x)在部分区间a,x上的定积分,如果上限x在区间a,b上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在a,b上定义了一个函数，记,称其为f(x)的积分上限函数(变上限函数)。,3,积分上限函数的性质,原函数存在定理：若函数f(x)区间a,b上连续,则其积分上限函数,在a,b上可导,且导数为,证,4,原函数存在性定理的注解,1：闭区间上的连续函数f(x)先求变上限积分，再求导数，其结果还原为f(x)本身。2：积分上、下限中有一个为常数，另一个为变量，积分下限为常数，积分上限为变量；变上限是单独的x，而不是x的其它函数形式如何计算：只要将等式右边用积分上限x代替被积函数中的积分变量t即可。,5,例题与讲解,例：求下列函数的导数,6,例题（涉及复合函数求导）,7,有用的结论,结论：,8,例题,例：,9,例题与讲解,求极限,10,例题与讲解,例：求,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,解：,11,练习,12,例题与讲解,例：,证：,13,例题与讲解,例：,证：,令,14,微积分学基本定理,定理：(牛顿莱布尼茨公式)如果F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则,(C为一常数),证:,是,的一个原函数,牛顿莱布尼茨公式,15,微积分基本公式的意义,一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间a,b上的增量。求定积分问题转化为求原函数的问题。,注意,例：求,原式,解,16,例题与讲解,例：,设,求.,解：,例：求,解：,17,例题与讲解,例：求,解：,由图形可知,18,小结,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,4.原函数存在定理告诉我们,连续函数的原函数是存在的,其积分上限函数就是其中一个。5.牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。,19,练习,解答,解答,解答,解答,20,练习（续）,解答,解答,解答,21,练习解答,返回习题,22,练习解答（续1）,23,练习解答（续2）,24,练习解答（续3）,25,练习解答（续4）,26,练习解答（续5）,27,练习解答（续6）,