用-圆的参数方程.ppt
第二讲 参 数 方 程,1、参数方程的概念,（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。,（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。,（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.,参数方程求法:,（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;,（2）选取适当的参数;,（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;,、圆的参数方程,sin=cos=tan=cot=,yr,xr,yx,xy,1三角函数定义,A,(x,y),y,x,o,r,sec=rxcsc=ry,一 复习回顾,并且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y),都在圆O上.,5,o,思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？,观察2,(a,b),r,又,所以,圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.,其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),练习：1.填空：已知圆O的参数方程是,(0 2),如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是,A,的圆，化为标准方程为,解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,2,例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,例题：,1,解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y),(2x-12)2+(2y)2=16,即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4,点P在圆x2+y2=16上,例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,例题：,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。,解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），,x2+y2 的最大值为14+2，最小值为14-2。,(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）,x+y的最大值为5+，最小值为5-。,(3),显然当sin（+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。,参数方程和普通方程的互化,把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3,sin=y;于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了,在例1中，由参数方程,直接判断点M的轨迹是什么并不方便，,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.,把参数方程化为普通方程：,例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解:(1)由,得,代入,得到,这是以（1，1）为端点的一条射线；,所以,把,得到,(1),(2),(1)(x-2)2+y2=9,(2)y=1-2x2（-1x1）,(3)x2-y=2（x2或x-2）,练习、将下列参数方程化为普通方程：,步骤：（1）消参；（2）求定义域。,B,例2 求参数方程,表示（）,（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;,（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;,（C）双曲线的一支,这支过点（1,1/2);,（D）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2).,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,在y=x2中，xR,y0，,因而与 y=x2不等价；,练习:,曲线y=x2的一种参数方程是（）.,在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，,而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,解：,练习 P是双曲线(t是参数)上任一点，F1,F2是该焦点：求F1F2的重心G的轨迹的普通方程。,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.代入法：,利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数,2.三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征,整体上消去,化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,小 结,小 结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：相关点点问题（代入法）；参数法；定义法5、求最值,解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1,参数方程为,(为参数),例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。,练习：,例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cos,2sin).,由中点坐标公式可得,因此，点M的轨迹的参数方程是,解：由已知圆的参数方程为,练习,A,A36 B6 C26 D25,D,A,.,5 已知点P是圆 上一个动点,定点A(12,0)，点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹,解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(4cos,4sin).,2|PM|=|MA|,由题设,(x-12,y)=,因此，点M的轨迹的参数方程是,例4(1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程;,(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程.,已知P(x,y)圆C：x2+y26x4y+12=0上的点。,(1)求 的最小值与最大值,(2)求xy的最大值与最小值,例5 最值问题,例6 参数法求轨迹,已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.,AQ:QP=2:1,练习 将下列参数方程化为普通方程,
