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激光的物理基础,光的相干性和光波模式的联系光的受激辐射光放大和振荡的基本概念,1.1 相干性的光子描述1.2 光的受激辐射基本概念1.3 光的受激辐射放大1.4 光的自激振荡,一、光子的性质 具有能量具有运动质量具有动量具有两种可能的独立偏振状态光子具有自旋，且自旋量子数为整数，大量光子的集合，服从玻色爱因斯坦统计规律，处于同一状态的光子数目是没有限制的,1.1 相干性的光子描述,量子电动力学从理论上把光的电磁（波动）理论和光子（微粒）理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，在理论上阐明了光的波粒二象性。,任意电磁波可看作是一系列单色平面电磁波（以波矢 为标志）的线性叠加，或一系列电磁波的本征模式（或本征状态）的叠加。每个本征模式所具有的能量是量子化的，是基元能量 的整数倍，本征模式的动量也可表示为基元动量 的整数倍。具有基元能量 和基元动量 的物质单元称为属于第l个本征模式（或状态）的光子。具有相同能量和动量的光子彼此间不可区分，因而处于同一模式（或状态）。每个模式内的光子数目是没有限制的。,二、光波模式和光子状态按照量子电动力学概念，利用波动和粒子两种观点，说明：光波的模式和光子的状态是等效的。,光电磁波的运动规律由麦克斯韦方程决定单色平面波是一种特解麦克斯韦方程的通解可表示为一系列单色平面波的线性叠加,（一）波动观点,在自由空间，具有任意波矢 的单色平面波都可以存在。在一个有边界条件限制的空间V内，只能存在一系列独立的具有特定波矢 的平面单色驻波。这种能够存在于腔内的驻波（以某一波矢 为标志）称为电磁波的模式或光波模。一种模式是电磁波运动的一种类型，不同模式以不同的 区分。同一波矢对应着两个具有不同偏振方向的模。,设空腔为 的立方体，沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件为波矢 的三个分量应满足条件,每一组正整数m、n、q对应腔内一种模式（包含两个偏振）,求空腔内的模式数目：,以kx、ky、kz为轴建立直角坐标系，即在波矢空间中表示光波模，每个模对应波矢空间的一点。每一模式在三个坐标轴方向与相邻模的间隔为每个模式在波矢空间占有一个体积元,在 空间内，波矢绝对值处于 的区间的体积为在此体积内的模式数为在体积为V的空腔内，处在频率附近频带d内的模式数为（考虑偏振）,（二）粒子观点,在经典力学中，质点运动状态完全由其坐标（x、y、z）和动量（Px、Py、Pz）确定。用广义笛卡儿坐标x、y、z、Px、Py、Pz所支撑的六维空间来描述质点的运动状态。这种六维空间称为相空间，相空间内的一点表示质点的一个运动状态。光子的运动状态受量子力学测不准关系的制约：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置测得越准确，动量就越测不准。,对于一维运动情况，测不准关系为，意味着处于二维相空间面积元 之内的粒子运动状态在物理上是不可区分的，它们应属于同一种状态。在三维运动情况下，测不准关系在六维相空间中，一个光子态对应（或占有）的相空间体积元为,上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。或者说，光子的状态并不对应于相空间的点，而是对应于相空间中体积为h3的相格。一个相格所占有的坐标空间体积（或称相格空间体积）为,（三）等效性,一个光波模是由两列沿相反方向传播的行波组成的驻波，因此一个光波模在相空间的Px、Py和Pz轴方向所占的线度为利用，在相空间中得到一个光波模在相空间也占有一个相格。因此，一个光波模等效于一个光子态。,三、光子的相干性,光的相干性（在不同的空间点上、在不同时刻的光波场的某些特性的相关性。光场的相干函数来度量）如果在空间体积Vc内各点的光波场都具有明显的相干性，则Vc称为相干体积。Vc=AcLc，Ac-相干面积，Lc-相干长度相干时间c是光沿传播方向通过相干长度Lc所需的时间。Lc=cc,普通光源发光，是大量独立振子（例如发光原子）的自发辐射。每个振子发出的光波是由持续一段时间t或在空间占有长度ct的波列组成,对波列进行频谱分析,另外：光波的相干长度就是光波的波列的长度（物理光学知识）,:光源频带宽度 t:波列持续时间,结论：光源单色性越好，则相干时间越长,物理光学杨氏双缝干涉由线度为x的光源A照明的S1和S2两点的光波场具有明显空间相干性的条件为用表示两缝间距对光源的张角，则光源面积,空间性方面：,如果要求传播方向限于张角之内的光波是相干的，则光源的面积必须小于(/)2。或者说，只有从面积小于(/)2的光源面上发出的光波才能保证张角在之内的双缝具有相干性。光源的相干体积为如果要求传播方向限于张角之内并具有频带宽度的光波相干，则光源应局限在空间体积Vcs之内。,从量子观点分析杨氏双缝干涉：由面积为(x)2的光源发出动量为 的限于立体角内的光子，因光子具有动量测不准量假定具有上述动量测不准的光子处于同一相格之内，即处于一个光子态，则光子占有的相格空间体积（即光子的坐标测不准量）为,在很小时,相格的空间体积和相干体积相等。如果光子属于同一光子态，则它们应该包含在相干体积之内。即属于同一光子态的光子是相干的。,关于相干性的重要结论,相格空间体积以及一个光波模或光子态占有的空间体积都等于相干体积。属于同一状态的光子或同一模式的光波是相干的，不同状态的光子或不同模式的光波是不相干的。,四、光子简并度,相干光强：具有相干性的光波场的强度，是描述光的相干性的参量之一相干光强决定于具有相干性的光子的数目或同态光子的数目处于同一光子态的光子数称为光子简并度。具有以下几种相同的含义：同态光子数、同一模式内的光子数、处于相干体积内的光子数、处于同一相格内的光子数。,五、原子的能级结构,（一）原子能级、简并度原子由原子核和绕原子核旋转的核外电子组成，原子核带正电，电子带负电，但二者电量相等。电子一方面绕核作轨道运动，一方面本身作自旋运动。电子围绕原子核旋转时，运动并非杂乱无章，各有各的轨道。按照一定规律分布在若干层特定的轨道上。两层之间没有可以让电子停留的轨道。,通常情况下，电子在距原子核最近的轨道上运动，原子处于最低的能量状态，称为基态(ground state)。这种状态很稳定。一旦有外界的作用，例如电的激发、光的照射或其它粒子的撞击，原子系统就得到外力（能量），原子中的电子就会从低轨道跳（跃迁）到某一高轨道上去。原子处在这种状态时，称为激发态(excited state)。原子在激发态很不稳定，通常只能停留很短（10-8s）的时间。除基态、激发态外，还有一个中间状态存在。原子在中间状态停留的时间比在激发态停留的时间长得多，这一状态称为亚稳态(10-3s左右)。,原子中电子的状态由四个量子数来确定：1、主量子数n。n=1,2,3,。主量子数大体上决定原子中电子的能量值。不同的主量子数表示电子在不同的壳层上运动。2、角量子数l。l=0,1,2,(n-1)。它表征电子有不同的轨道动量矩。对于l=0，1，2，3等的电子，依次用s，p，d，f字母表示。3、磁量子数m。m=0,1,2,l。磁量子数可以决定轨道动量矩在外磁场方向上的分量。4、自旋量子数s。s=1/2，决定电子自旋动量矩在外磁场方向上的分量。,电子具有的量子数不同，表示不同的电子运动状态。电子在一系列确定的分立状态运动时，相应有一系列分立的不连续的能量值。这些能量通常叫电子（原子系统）的能级(energy levels)。依次用E1、E2、E3、En表示。也就是说，原子处于每一个能量状态时，都有一个确定的能量值，这些数值各不相同，把它们用高低不同的水平线形象地表示出来，就是原子的能级图。,一般说，处于一定电子态的原子对应某个一定的能级。反过来，某一能级并不只对应一个电子态，可以对应于若干个量子态，即电子可以有两个或两个以上的不同运动状态具有相同的能级。这种能级叫简并能级，它所对应的不同电子运动状态的数目，叫能级的简并度，用字母f（或g）表示。换句话说，如果一个能级中包含的量子态数目不止一个，称这一能级是简并的，所包含的数目称为该能级的简并度。如果一个能级只与一个量子态对应，即g=1，则此能级是非简并的。,In real systems containing atoms,molecules or ions,it frequently happens that different configurations of the system can have exactly the same energy.If a given energy level corresponds to a number of different arrangements specified by an integer g,we call g the degeneracy of the level.We call the separate states of the system with the same energy sub-levels.,氢原子1s、2p态的简并度,把原子、分子和离子，统称为粒子。由于原子热运动，原子间相互碰撞或原子与器壁的碰撞，不可能所有原子都处在基态，有一定数量的原子激发到不同的激发态。大量原子组成的系统在热平衡条件下，原子数（或称集居数）按能级分布遵循一个确定的统计分布规律，即服从玻尔兹曼定律：N表示处于能级E上的单位体积中的粒子数，N0为单位体积中的总粒子数，kb=1.3810-23J/K，称为玻尔兹曼常数；T为热平衡时的绝对温度，单位为开【尔文】（符号K）；e=2.718。,（二）粒子数目按能级的分布,玻尔兹曼分布阐明了粒子在能级上的正常分布。从总的粒子集团来看，处于能量较低能级的粒子较多，处于能量较高能级的粒子较少，而处于基态粒子最多。也就是说，处于热平衡状态的粒子体系，高能级上的粒子数总是少于低能级上的粒子数。处于越高的能级，粒子数越少，而且按指数减少。,N2为单位体积内处于高能级(upper level)E2上的原子数，N1为单位体积内处于低能级(lower level)E1上的原子数。f2、f1分别为能级E2和E1的简并度，为简化起见令f2=f1。,Boltzmanns Principle states that when a collection of atoms is in thermal equilibrium at a positive temperature T,the relative populations of any two energy levels E1 and E2 are given byThus for a collection of atoms is in equilibrium at a normal positive temperature T,an upper-level population is always smaller than a lower-level population.,（三）辐射跃迁和非辐射跃迁,一个处于高能级E2的原子，总是力图使自己的能量状态过渡到低的能级E1。只有在满足辐射跃迁选择定则时，一个处于高能级E2的原子才能通过发射一个能量=h=E2-E1的光子，而使它跃迁到低能级E1。也只有在满足辐射跃迁选择定则时，一个处于低能级E1的原子才有可能吸收一个能量为=h=E2-E1的外来光子，而使该原子跃迁到高能级E2。,这种发射或吸收光子从而使原子造成能级间跃迁的现象叫辐射跃迁。它必须满足辐射跃迁选择定则。非辐射跃迁表示原子在不同能级跃迁时并不伴随光子的发射或吸收，而是把多余的能量传给了别的原子或吸收别的原子传给它的能量(如果放出的内能以热运动的形式出现)，所以不存在选择定则的限制。,1.2 光的受激辐射基本概念,光与物质的共振相互作用，特别是其中的受激辐射是激光器的物理基础1900年普朗克（Max Planck）用辐射量子化假设成功地解释了黑体辐射分布规律1913年波尔（Niels Bohr）提出原子中电子运动状态量子化假设1917年爱因斯坦提出受激辐射的概念,一、黑体辐射的普朗克公式,处于某一温度T的物体能够发出和吸收电磁辐射，称为热辐射或温度辐射。如果某一物质能够完全吸收任何波长的电磁辐射，则称此物体为绝对黑体，简称黑体。处于某一温度T的黑体在热平衡情况下，吸收的辐射能量等于发出的辐射能量，即黑体与辐射场之间处于能量(热)平衡状态。,这种平衡必然导致空腔内存在完全确定的辐射场。这种辐射场称为黑体辐射或平衡辐射（blackbody radiation）。黑体辐射是黑体温度T和辐射场频率的函数，用单色能量密度来描述：在单位体积内，频率处于附近的单位频率间隔中的电磁辐射能量(Jm-3s）,A particularly important kind of radiation field is that emitted by a black body.Such a body absorbs with 100%efficiency all the radiation falling on it,irrespective of the radiation frequency.A close approximation to a black body(absorber and emitter)is a enclosed cavity containing a small hole.Radiation that enters the hole has very little chance of escaping.If the inside of this cavity is in thermal equilibrium it must lose as much energy as it absorbs and the emission from the hole is therefore characteristic of the equilibrium temperature inside the cavity.Thus this type of radiation is often called thermal or cavity radiation.,普朗克提出辐射能量量子化假设：在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为腔内单位体积中频率处于附近的单位频率间隔内的光波模式数为黑体辐射的普朗克公式,energy density per unit frequency,模密度,二、光的辐射和吸收,黑体辐射实质上是辐射场和构成黑体的物质原子相互作用的结果原子中的电子可以通过和外界交换能量的方式发出量子跃迁，或称能级跃迁热跃迁：交换的能量是热运动的能量光跃迁：交换的能量是光能光跃迁中将同时存在着光的自发辐射跃迁、受激辐射跃迁和受激吸收跃迁三个过程,光（辐射场）和物质相互作用三过程,假设：1）物质是同类原子（粒子）组成的体系；）参与相互作用的原子只有两个能级E2、E1，单位体积内处于两能级的原子数分别为n2、n11、自发辐射原子处于高能级E2 原子处于低能级E1特点：1）自发产生；2）辐射是独立的,h21,h21E2E1,物理描述：设在某一粒子集合中，在高能级E2上的粒子数密度为n2，在tt+dt时间内，由高能级E2自发跃迁到低能级E1的粒子数dn21可由下式描述：,表示每一个处于E2能级的粒子在单位时间内自发向E1能级跃迁的几率,A21：自发跃迁概率,1）只与原子自身的性质有关2）是原子在E2能级上的平均寿命的倒数,单位时间内能级E2所减少的粒子数为,A21：自发跃迁爱因斯坦系数,Let us concentrate on two of these levels-1 and 2,for example.If the atom is known to in state 2 at t=0 there is a finite probability per unit time that it will undergo a transition to state 1,emitting in the process a photon of energy h=E2-E1.This process,occuring as it does without the inducement of a radiation field,is referred to as spontaneous emission.,Another equivalent way of thinking about spontaneous transitions,and one corresponding more closely to experimental situations,is the following:consider a large number N2 of identical atoms that are known to be in state 2 at t=0.The average number of these atoms undergoing spontaneous transitions to state 1 per unit time is,where A21 is the spontaneous rate and is called the spontaneous lifetime associated with the transition 21.It follows that from quantum mechanical considerations that spontaneous transitions take place from a given state only to states lying lower in energy,so no spontaneous transitions take place from 1 to 2.The rate A21 can be calculated using the eigen-functions of states 2 and 1.,2、受激吸收,非自发的，有辐射场作用；减弱辐射的强度W12=B12，W12与原子性质有关，与场有关，称为受激吸收跃迁概率B12只与原子性质有关，称为受激吸收跃迁爱因斯坦系数,在tt+dt时间内，由低能级E1受激吸收到高能级E2的粒子数dn12可由下式描述：,3、受激辐射,非自发的，有辐射场作用；增强辐射的强度；与原光子性质、状态完全相同W21与原子性质有关，与场有关，称为受激辐射跃迁概率；B21只与原子性质有关，称为受激辐射跃迁爱因斯坦系数,在tt+dt时间内，由高能级E2受激辐射到低能级E1的粒子数dn21可由下式描述：,Induced transition,In the presence of an electromagnetic field of frequency(E2-E1)/h an atom can undergo a transition from state 1 to 2,absorbing in the process a quantum of excitation(photon)with energy h from the field.If the atom happens to occupy state 2 at the moment when it is first subject to the electromagnetic field,it will make a downward transition to state 1,emitting a photon of energy h.,What distinguishes the process of induced transition from the spontaneous is the fact that the induced rate for 21 and 12 transition is equal,whereas the spontaneous 12(that is,the one in which the atomic energy increases)transition rate is zero.Another fundamental difference is that the induced rate is proportional to the intensity of the electromagnetic field,whereas the spontaneous rate is independent of it.The relationship between the induced transition rate and the(inducing)field intensity is of fundamental importance in treating the interaction of atomic systems with electromagnetic fields.,三、爱因斯坦系数之间的关系,腔内黑体辐射场与物质原子相互作用的结果应该维持黑体处于温度为T的热平衡状态腔内存在着由普朗克公式表示的热平衡黑体辐射物质原子数分布服从玻尔兹曼分布热平衡条件下，n2（或n1）保持不变，即从能级E2跃迁到能级E1的粒子数应等于从能级E1跃迁到能级E2上的粒子数,(Since at thermal equilibrium the average populations of levels 2 and 1 are constant,it follows that the number of 21 transitions in a given time interval is equal to the number of 12 transitions),或,在T时，该式也成立，得出：爱因斯坦系数的基本关系式,或,自发辐射特点：各个处于高能级的粒子都是自发地、独立地进行跃迁，不受外界辐射场控制；大量原子的自发辐射光波可以有不同的相位和不同的偏振方向，它们可以向空间各个方向传播。所以自发辐射光是非相干光,四、受激辐射的相干性,全同光子,受激辐射是在外界辐射场控制下的发光过程，应具有和外界辐射场相同的相位。量子电动力学证明：受激辐射光子与入射（激励）光子属于同一光子态；或者说，受激辐射场与入射辐射场有相同的频率、相位、偏振态、传播方向，因而属于同一模式（称为全同光子）。受激辐射发出的光为相干光激光就是一种受激辐射相干光。,1.3 光的受激辐射放大,一、黑体辐射源的光子简并度,普通光源在红外和可见光波段实际上是非相干光源。,50000K,如果能创造一种情况，使腔内某一特定模式（或少数几个模式）的大大增加，而其它所有模式的很小，就能在这一特定（或少数几个）模式内形成很高的光子简并度。即，使相干的受激辐射光子集中在某一特定（或少数几个）模式内，而不是均匀分配在所有模式内。,How to do it?,光波模式的选择，由两块平行平面反射镜完成，即法布里珀罗（Fabry-Perot）干涉仪在受激辐射过程中，通过一个光子的激励作用可以得到两个全同光子；若这两个全同光子再引起其它原子产生受激辐时就能得到更多的全同光子，这种现象称为光放大，这是产生激光放大和振荡的一个重要概念，光放大须在一定条件下产生。,光的受激辐射放大（Light Amplification by Stimulated Emission of RadiationLASER）？热平衡状态下能否实现光的受激辐射放大？激光器在哪方面突破了传统方法？,用开放式谐振腔代替封闭谐振腔用原子中束缚电子的受激辐射光放大代替自由电子对电磁波的放大,二、光放大的条件集居数反转分布(粒子数反转分布)(population inversion),在无外界激励的常温下，光的受激吸收比受激辐射占优势，光总是受到衰减要使激光物质能对光进行放大，必须使物质中的受激辐射大于受激吸收，或者说必须使高能级的粒子数大于低能级的粒子数即要实现“粒子数反转分布”处于粒子数反转分布的物质称为“激活物质”或“增益物质”(inverted laser medium),The total stimulated-transition rate on such an equilibrium transition is thus always absorptive or attenuating rather than amplifying.To create laser amplification,we must find some pumping process which will put more atoms into an upper level than into a lower level,and thus create a non-equilibrium condition of population inversion.,只有当外界向物质供应能量（称为激励或泵 浦过程）从而使物质处于非热平衡状态时，粒子数反转分布才有可能实现激励或泵浦过程是光放大的必要条件,首先由泵浦源激励工作物质，产生粒子数反转分布；自发跃迁产生自发辐射光子，它们的辐射方向是任意的；只有那些沿着与谐振腔轴线夹角较小的方向传播的光子流，才有可能在腔内沿轴线方向来回反射传播，在腔内的激活物质中来回穿行。在这一过程中由于受激辐射跃迁而产生大量的全同光子，满足阈值条件后形成激光,一般采用光激励、放电激励、化学激励等方法,三、增益系数,放大作用的大小通常用增益系数g来描述。设在光传播方向上z处的光强为I(z)，则增益系数定义为表示光通过单位长度激活物质后光强增长的百分数,(1):如果(n2-n1)不随z而变化，则增益系数g为一常数g0。可求出,I0为z=0处的初始光强,属于小信号增益情况,(2)光强的增加是由于高能级原子向低能级受激跃迁的结果，或，光放大是以单位体积内集居数差值n2(z)-n1(z)的减小为代价的。并且，光强I越大，n2(z)-n1(z)减少得越多，所以实际上n2(z)-n1(z)随z的增加而减少，增益系数也随z的增加而减少，这一现象称为增益饱和效应。增益系数也是光波频率的函数。,Is:饱和光强,三能级系统与四能级系统,四能级系统产生光增益能级的低能级不是基态，原子在其上寿命很短，处于该能级的粒子数极少，比三能级系统易于实现粒子数反转,Energy-level diagram of an idealized three-level laser and four-level laser,？哪一种容易些？,Suppose we have a laser rod containing atoms that are properly pumped so as to produce population inversion and amplification on a certain laser transition.To make a coherent oscillation using this medium,we must then add partially reflecting,carefully aligned end mirrors to the laser medium.Then a small amount of spontaneous emission at the laser transition frequency starts out along the axis of this device,being amplified as it goes.This radiation will reflect off one end mirror and then be reamplified as it passes back through the laser medium to the other end mirror,where is will of course again be sent back through the laser medium.,If the round-trip laser gain minus mirror losses is less than unity,this radiation will decrease intensity on each pass,and will die away after a few bounces.But,if the total round-trip gain,including laser gain and mirror losses,is greater than unity;and will eventually grow into a coherent self-sustained oscillation inside the laser cavity formed by the two end mirrors.The threshold condition for the build-up of laser oscillation is thus that the total round-trip gain-that is,net laser gain minus net cavity and coupling losses-must have a magnitude greater than unity.,1.4 光的自激振荡,无限长的放大器实际的自激振荡器自激振荡条件,损耗系数定义为光通过单位距离后光强衰减的百分数同时考虑增益和损耗假设有微弱光(I0)进入一无限长放大器。起初，光强将按小信号放大规律增长，但随光强的增加，增益系数由于饱和效应而减小，因而光强的增长变得缓慢。最后，当增益系数等于损耗系数时，光强不再增加而达到一个稳定的极限值Im。,当g(I)=时，求得Im只与放大器本身的参数有关，而与初始光强无关。不管初始光强多么微弱，只要放大器足够长，就总是形成确定大小的光强。表明，当激光放大器的长度足够大时，它可能形成一个自激振荡器。,实际上，只要在具有一定长度的光放大器两端放置光谐振腔，轴向光波模就能在反射镜间往返传播，就等效于增加放大器的长度。由于在腔内总是存在频率在附近的微弱的自发辐射光（相当于初始光强I0），它经过多次受激辐放大就有可能在轴向光波模上产生光的自激振荡(oscillation)。激光器是一个光的自激振动器。,激光器应包括光放大器和光谐振腔两部分。光腔的作用为：模式选择。保证激光器单模（或少数轴向模）振荡，从而提高激光器的相干性提供轴向光波模的反馈,激光器由工作物质、泵浦源和谐振腔三部分组成。?,振荡条件：任意小的初始光强I0都能形成确定大小的腔内光强Im的条件为包括放大器损耗和谐振腔损耗在内所有平均损耗系数此即起振条件或阈值条件（threshold condition）当 时，称为阈值振荡情况，腔内光强维持在初始光强I0的极其微弱的水平上。,另一种方法讨论阈值条件不考虑其它损耗，由于增益介质的放大作用，腔内功率随距离的变化可表示为增益介质单位长度的小信号增益系数为g0，损耗系数为i，两个反射镜的反射率为R1和R2；P(0)为z=0处的光功率光束在腔内经历一个来回后，光功率为,产生振荡必须满足P(2L)=P(0)，此即激光器产生振荡必须满足的条件。只有在这种情况下，光才能不断得到放大，使输出光强逐渐增加，称其为激光器起振条件或阈值条件,称为光学谐振腔的平均损耗系数（包括增益物质的本身损耗和通过两个反射镜的传输损耗，其中包括了有用光的输出）在光放大过程中，高能级向低能级的受激辐射使上下能级的原子数之差减小，因而受激辐射作用减弱，这引起增益系数g 的减小，直至g=，激光器维持一个稳定的振荡并输出稳定的光功率。,Steady-state oscillation conditions,Net gain greater than net loss for a circulating wave thus leads to signal build-up at the transition frequency within the laser cavity.This exponential growth will continue until the signal amplitude becomes sufficiently large that it begins to“burn up”some of the population inversion,and partially saturate the laser gain.Steady-state oscillation within a laser cavity requires that net gain just exactly equal net losses,or that the total build-up gain exactly equal unity,so that the re-circulating signal neither grows nor decays on each round trip,but stays constant in amplitude.,相位条件(Round-trip phase or frequency condition),光腔的谐振条件是：光从某一点出发，经腔内往返一周后再回到原来的位置时，与初始出发波同相，即相差为2的整数倍。The round-trip phase shift inside the cavity must be some(large)integer multiple of 2,or the round-trip length must be integer number of wavelengths at the oscillation frequency.,达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍，也称为激光器的相位平衡条件（驻波条件）谐振频率是分立的。In the linear cavity case this phase condition is met as a set of discrete and equally spaced axial-mode frequencies(fq).The set of frequencies fq are called axial modes because they represent the resonant frequencies at which there are exactly q half-wavelengths along the resonator axis between the laser mirror in the linear or standing-wave case.,光波电磁场在腔中沿轴线方向的各种驻波分布状态称其为纵模。多纵模的谐振频率是按等间隔均匀分布的，相邻两个纵模的谐振频率之差f称为纵模间隔只有那些既满足频率条件又满足振荡阈值条件模才可能在腔内实际存在,end,