求导法则、高阶导数.ppt

二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,思路:,(构造性定义),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设,则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(C为常数),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(C为常数),例2.求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)设,则,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P94),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,求导公式及求导法则,注意:1),2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,1.,思考与练习,对吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求下列函数的导数,解:(1),(2),或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,求,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.设,解：,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定 0!=1,思考:,例3.设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,