极限存在准则两个重要极限(IV).ppt

第六节极限存在准则 两个重要极限,一、准则I及第一个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,一、准则I及第一个重要极限,如果数列xn、yn及zn满足下列条件(1)ynxnzn(n=1 2 3),准则 I,准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,证,如果数列xn、yn及zn满足下列条件(1)ynxnzn(n=1 2 3),准则 I,上两式同时成立,取N=maxN1,N2,圆扇形AOB的面积,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,第一个重要极限,当,时,注,注:,这是因为 令u=a(x)则u0 于是,第一个重要极限,例1.求,解:,例2.求,解:令,则,因此,原式,解,例3,例4,解,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,准则II的几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,第二个重要极限,我们还可以证明,这就是第二个重要极限,根据准则II 数列xn必有极限,此极限用e来表示,即,可以证明,(2)xn3,(1)xnxn+1 nN,注:,解,例5,令t=-x 则x 时 t 于是,例6,解:,练习,1.,2.,作业：p-56 习题1-6 1（3），（5），（6）2（3），（4）4（1）,(2),