机械设计仿真软.ppt

机械系统设计建模与仿真,主讲人：张玉华 机械工程学院 车辆工程系,教学安排,计划学时 48 其中 20学时实验教材：机械系统设计建模与仿真（兼上机实验指导书）张玉华 主编 上课时间：119周 20周考试实验安排：实验1 ADAMS基本操作 第14周 实验2 几何建模与参数化 第15周 实验3 机构约束与施加载荷 第16周 实验4 编辑样机模型 第17周 实验5 样机仿真分析 第18周 地点：机械楼 2层 CAD中心 胡老师指导,上课要点,上课精力集中，认真思考认真做好笔记，按时完成作业遵守课堂纪律（不迟到，不早退，不开手机）,第一章 绪论,11 机械系统的设计12 多刚体系统动力学13 牛顿-欧拉方法14 虚拟样机技术,11 机械系统的设计,机器传动机构零件,单缸内燃机,牛头刨床,机器传动机构零件,机器、机构、机械系统,机构：是由两个以上具有相对运动的构件组成的系统，机构的作用在于传递运动或改变运动的形式。机器：是由若干机构组成的系统。例如，内燃机包含曲柄滑块机构、齿轮机构和控制进气与排气的凸轮机构。机械系统：是机构与机器的总称。它由许多构件和零件组成。,构件与零件的区别,构件是运动的单元；零件是制造的单元。,构件：组成机构的各个相对运动部分称为构件。构件 可以是单一的整体，也可以是几个元件的刚性组合。零件：组成构件的元件则称为零件。,机械系统设计的基本问题,机械系统设计的基本问题是机构的综合、运动学和动力学分析与设计。,机构综合着重研究创造性构思、发明、创新设计新机构的理论和方法。,而机构的运动学和动力学分析，一方面是用于现有机械系统的性能分析与改进，另一方面是为机构的综合提供理论依据。因而它们是机械系统设计中重点研究的内容，也是本书要重点介绍的内容。,本课程的任务,熟悉多刚体系统动力学的基本概念、基本理论，掌握建立机构的运动分析和动力分析数学模型的方法。以多刚体系统动力学为理论指导，虚拟样机技术为设计手段，研究机械系统的建模方法。熟悉ADAMS软件的基本操作，掌握机械系统虚拟样机的建模和仿真分析方法，提高机械系统的设计质量，提高机械产品的性能，提高自主知识产权产品的核心竞争力。,12 多刚体系统动力学,关于刚体的假设是不考虑物体的变形。但是物体总是有变形的，而物体的变形对系统的运动也是有影响的，有时则有决定性的影响，因此，严格地讲多刚体系统应为多体系统即柔性体系统。目前，国内外已从多刚体系统的研究扩展到多体系统(包括柔体系统)的研究。但是，在某些情况，比如构件的变形很小，且构件的变形对系统的动力学特性影响不大，仍然可以将这类系统视为多刚体系统。我们仅研究多刚体系统并以此作为研究多体系统动力学的基础。,工程中的机械系统大多由许多构件组成，研究这些复杂系统时，往往可以将构成系统的各构件简化为刚体，而刚体之间靠运动副连接，从而得到“多刚体系统”。,例如自行车、曲柄滑块机构、汽车中的转向机构、飞机的起落架、工业机器人等,说明：,运动副,连接构件的运动副，可以是圆柱铰链(两刚体之间有一个相对转动的自由度)，万向联轴节(两个相对转动自由度)，球铰(三个相对转动的自由度)，也可以是其它形式的运动学约束(如棱柱形约束允许一个相对滑动的自由度)，甚至没有物理意义上的运动学约束，而只有力的作用(如弹簧连接)，即所谓的广义铰。,多刚体系统类型,多刚体系统从结构上可以分为两类：树状结构和非树状结构。两类结构的区分取决于“通路”的概念。,如果系统中任意两刚体之间都只有一个通路存在，则称系统为树状结构，图中的(a)、(c)。如果系统中至少有两个刚体之间存在两个(或更多的)通路，则称系统为非树状结构，图中的(b)，这时，从Bi到Bj的两个通路构成一个闭合链。,多刚体系统结构示例,机械系统中，机械手，空间飞行器以及人体步行时的摆动相都可以视为树状结构系统。,自行车、曲柄滑块机构以及人体站立时的支撑相则可视为非树状结构系统。,树状结构的分类,树状结构是研究多体系统动力学的基础，因为任何非树状结构均可将其闭合链打开加上某些附加约束而视为树状结构。树状结构又可以分为两类：系统中某刚体(编号为B1)与一运动已知的刚体(通常称之为基座，编号为B0)相铰接，此类称为有根树。典型的如工业机械手。系统中任一刚体都不与基座相连此类称为悬空树。如卫星、腾空的运动员等。,多刚体动力学的特点,多刚体动力学的研究内容同样也分为运动学和动力学两部分，与经典力学的区别之处在于多刚体系统是十分复杂的系统，其自由度数大，且各构件的运动一般都有大位移变化，因此，不但运动微分方程数多，且有大量的非线性项，一般很难求得解析解，而必须借助计算机作数值计算。,多刚体动力学的主要研究,寻求建立多刚体系统运动微分方程的解析方法。这种方法应是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析方法。发展与各种分析方法配套的算法，以实现复杂非线性常微分方程(ODE)或微分代数方程(DAE)的数值积分。根据计算结果提供易于分析的各种输出形式，如曲线、图象、动画等。应用以上方法对具体系统进行分析，并解决力学性能分析、参数优化、寻求最优控制规律等力学问题。,13 牛顿-欧拉方法,牛顿欧拉法是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析方法。虽然方程数较多，但建立方程的过程却十分简单，而且易于编程上机计算。下面讨论如何采用牛顿欧拉方法对曲柄滑块机构进行动力学建模方法。,曲柄滑块机构动力学建模,将曲柄滑块机构看作由B1和B2组成的系统，解除约束，如图所示，X1，Y1，-X1，-Y1与Y2均为约束反力。列出B1、B2的运动微分方程。B1只有转动,B2既有移动又有转动,(1.1),(1.2),曲柄滑块机构动力学建模,从(1.2)式至(1.3)式，前四个为微分方程，后三个为代数方程，共七个方程构成一封闭方程，可求得七个未知量,约束条件是A1与A2点重合以及D点在x轴上，由此得到约束方程为,(1.3),所以，采用这种方法将使微分代数方程组中的方程数目增多，但每个方程的建立则要简单得多。,14 虚拟样机技术,虚拟样机技术又称为机械系统动态仿真技术，是国际上20世纪80年代随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一项计算机辅助工程（CAE）技术。工程师在计算机上建立样机模型，对模型进行各种动态性能分析，然后改进样机设计方案，用数字化形式代替传统的实物样机实验。运用虚拟样机技术，可以大大简化机械产品的设计开发过程，大幅度缩短产品开发周期，大量减少产品开发费用和成本，明显提高产品质量，提高产品的系统级性能，获得最优化和创新的设计产品。,机械系统动力学自动分析软件ADAMS,(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)是美国MDI公司(Mechanical Dynamics lnc.)开发的著名的虚拟样机分析软件。ADAMS一方面是虚拟样机分析的应用软件，用户可以运用该软件非常方便地对虚拟机械系统进行静力学、运动学和动力学分析;另一方面，它又是虚拟样机分析开发工具，其开放性的程序结构和多种接口，可以成为特殊行业用户进行特殊类型虚拟样机分析的二次开发工具平台。虚拟样机仿真分析基本步骤如图1-3所示。,仿真分析基本步骤,仿真分析基本步骤,第二章 动力学基本概念,21 非自由系统的约束 211 完整约束与非完整约束 212 定常约束与非定常约束 22 广义坐标和自由度 221 广义坐标 222 用广义坐标表示的非完整约束方程 223 坐标变分和自由度,21 非自由系统的约束,多个质点的集合可以组成一个质点系统，根据系统的运动是否受到预先规定的几何及运动条件的制约，可以分为自由系统和非自由系统。对于非自由系统，那些预先规定的、与初始条件及受力条件无关的、限制系统的几何位置或(和)速度的运动学条件称为约束。约束有多种形式，这里只介绍其中两类。,211 完整约束与非完整约束,仅仅限制系统的几何位置(也称位形)的约束称为完整约束。完整约束又称为几何约束。若不仅限制系统的位形而且还限制系统的运动速度，这样的约束称为非完整约束。,完整约束与非完整约束的表达,约束方程的一般表达式,若用xi、yi、zi表示系统中某质点的笛卡尔直角坐标，那么N个质点组成的质点系统的完整约束的约束方程可写作,非完整约束的约束方程取微分的形式。一个由N个质点组成的系统的非完整约束方程可写作,(2.1.2),fk(x1，y1,z1,x2，y2,z2,xN，yN,zN,)0,（k1，2，3,r r3N）(2.1.1),图2-1 轮子的约束,例2.1,一个半径为r的轮子沿斜面向下作纯滚动，分析轮子所受的约束。,解：轮子所受的几何约束为(2.1.3)又运动条件的限制是轮子作纯滚动时P点的速度为零,即(2.1.4)或(2.1.5)这一约束方程显然是可积分的，即(2.1.6)故而轮子仍受完整约束，其约束方程为(2.1.3)式和(216)式。,纯滚动时轮子的约束,例2.2,质点m1和m2由一长为l的刚性杆相连，设该系统在图2-2所示xoy平面内运动。若要求杆中点C的速度保持沿杆轴方向，分析该系统的约束情况。,图2-2 平面运动杆的约束,解：由于杆是刚性的，所以m1与m2必须满足的几何约束是(x1x2)2十(y1y2)2l2(217)而运动约束是C点的速度必须沿杆轴方向，即,平面运动杆的约束,(218),(218)式说明系统受到一个非完整约束。,代入Ml，M2的坐标即为,我们经常遇到的系统一般是非完整系统。非完整约束又分为一阶线性非完整约束、一阶非线性非完整约束、二阶非完整约束等。N个质点的系统受到k个一阶线性非完整约束时，其约束方程可以写作,非完整约束的类型,或写成,(2.1.10),(2.19),212 定常约束与非定常约束,约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束。约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束。,例2.3,例2.3,设质点M所系绳子穿过o点，如图2-3所示，绳子另一端以一匀速v拉动使M在xy平面内运动。试讨论M的约束。,图2-3 质点M的非定常约束,解:设M的起始位置为l0，则它到o点的距离l将随时间变化。其约束方程为 x2+y2(l0-vt)2(2113)显然，M所受的约束是非定常约束。,22 广义坐标和自由度,图2-4 动点M的位置,221 广义坐标,我们习惯于用笛卡尔直角坐标系来描述系统的几何位置即位形。然而，根据问题的不同，不一定非得采用长度坐标参数来描述系统的几何位置。,例如，描述作平面运动的动点M的几何位置的参数可以用：直角坐标(x，y)，极坐标(，r)，参数(A，)，等等。这就是说，动点M的几何位置可以用不同的参数组来描述，即有了选择参数的余地。为此，引入广义坐标的概念。,广义坐标的概念,所谓广义坐标，就是选择一组互相独立的参数q1，q2,，qn只要它们能够确定系统的位形，而不管这些参数的几何意义如何。这样的一组参数就称为广义坐标。因此，上述中的(x，y)，(，r)，(A，)等都可以作为描述M点的位形的广义坐标。可见，广义坐标对于某一系统来讲不是唯一的，或者说，可以任意选取。广义坐标可以用下面的通式表示 riri(q1，q2，qn,t)(221)式中，ri表示系统中第i个质点的位形；qj(j1，2,n)和t是广义坐标。,222 用广义坐标表示的非完整约束方程,一个由N个质点组成的系统的非完整约束方程可写作微分形式。,速度的广义坐标表示,(1)速度的广义坐标表示,设N个质点组成的系统有n个广义坐标qj(j1,n),且qjqj(t)，则系统中第i个质点的速度是,式中，相应地 称为广义速度。v可以写作如下投影形式,(222),(223),定常系统,对于定常系统，因(224),所以，(225),图2-5 点M的速度,例2.4,空间中的一动点M，若选取极坐标r、为广义坐标，如图2-5所示，求M点在笛卡尔直角坐标系中的位置和速度。,(227),于是M点的速度为,(2)用广义坐标表示的非完整约束方程,一阶线性非完整约束方程已由(219)式给出：,把第i个质点的速度的广义坐标分量代入该式得到,图2-6 微分和变分,223 坐标变分和自由度,坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。,设某系统运动的微分方程的解是,坐标的变分则是指在某一时刻t，qj本身在约束许可条件下的任意的无限小增量。也就是系统的可能运动(图中的虚线所示)与真实运动在某时刻的差，记作qj,既有不同点，也有共同点。,由于都是坐标的无限小变化，故变分也表现出微分的形式，并且和微分具有相同的运算规则。,自由度计算,我们把系统独立的坐标变分数称为系统的自由度。,如果系统是自由的，则其位形的确定要3N个坐标。这些坐标自然相互独立，其变分也相互独立，故自由度为3N。,对于N个质点组成的力学系统，如何计算自由度呢？,如果系统受到k个完整约束，那么在3N个坐标中，只有3N-k个相互独立，并且它们的变分也相互独立，故其自由度为3N-k个。,如果系统为非完整系统、假设该系统除了k个完整约束之外，还受到l个非完整约束，该系统独立的坐标数为3N-k个，但其独立的坐标变分数只有3N-k-l个(由于l个微分形式约束的存在)，故系统的自由度为3N-k-l个。,自由度计算,综上所述，若一个系统的广义坐标数为n，则：完整系统:n=独立的坐标数 独立的坐标变分数 系统的自由度。非完整系统：n独立的坐标数 独立的坐标变分数系统的自由度。n 系统的自由度,例25,一平面曲柄滑块机构，A、B两点的位置可确定系统的位形，分析其自由度。,图2-7,例25 解：,这是一个平面机构，A、B共有2N4个坐标，系统要满足3个完整约束,该系统没有非完整约束，因此是一个完整系统，其自由度数为431，独立的坐标数也是1。若选取为广义坐标，当给定时，整个系统的位形也就确定了。,（2.2.15）,（2.2.16）,作业,P12 习题2-1，2-4,第二章结束,31 刚体绕定点转动的欧拉定理 32 描述刚体定点转动的解析法,第三章 刚体定点转动运动学,刚体定点转动的方向余弦描述 刚体定点转动的欧拉角描述 刚体定点转动的广义欧拉角描述,31 刚体绕定点转动的欧拉定理,方位和方位变化设o为刚体的固定点，刚体上某ABo可完全确定刚体的方位。今ABo转到ABO，存在一通过固定点的轴OC，当0A绕OC转过一角到达0A时，ABO与ABO一定完全重合，这种转动通常称为刚体的一次转动或欧拉转动，OC即为一次转轴或欧拉转轴。,具有固定点的刚体由某一方位到另一方位的方位变化永远等价于绕通过固定点的某轴的一个有限(转角)的转动，这就是刚体绕定点转动的欧拉定理。,静锥和动锥,如果将刚体的转动过程分为若干时间间隔，每一时刻欧拉转轴的位置显然是不同的。在某一时刻ti，当时间间隔t0时,oci称为刚体在ti时刻的瞬时转动轴，平均角速度向量的极值i称为瞬时角速度向量。瞬时转轴位置的不断变化在空间形成了以定点O为顶点的锥面，称之为静瞬时锥面，简称静锥。同时它在刚体内部留下了轨迹，构成了动瞬时锥面，它也是以O为顶点的锥面，简称动锥。,刚体绕定点转动的过程,刚体绕定点转动的过程可以看成是一系列以角速度i绕瞬时转动轴转动的合成。,也可以说，刚体做定点转动时，动瞬时锥面在静瞬时锥面上以角速度(t)作无滑动的滚动，见图32。,定点转动刚体上点的速度和加速度,当刚体相对某动参考系以1转动而此动参考系又以2相对定参考系转动，则刚体的运动可以看成绕某个OC轴以角速度1十2作转动，OC即为的方向。这就是说，刚体绕相交轴转动合成时，角速度的合成服从向量加法。,设刚体的瞬时角速度为，则刚体上相对定点的向径为r的点的速度为,(3.1.1),(3.1.2),其中，为刚体的角加速度；称为转动加速度；称为向心加速度。,32 描述刚体定点转动的解析法,上一节的讨论实际上是刚体定点转动的一种简单的、几何的、定性的描述，本节详细介绍刚体定点转动的定量的描述。,刚刚体定点转动的方向余弦描述 刚刚体定点转动的欧拉角描述 刚刚体定点转动的广义欧拉角描述,图 3-3 i和j 坐标系,(1)方向余弦矩阵,假设以参考空间某一点O为原点，有两个笛卡尔直角坐标系 o(简称i系)和oxyz(简称j系)，,各坐标轴之间夹角的余弦值构成了一个方向余弦矩阵A，它可以表示两坐标系之间的空间关系。,图 3-3 i和j 坐标系,两坐标系之间的空间关系,如果以j系为参考系，i系是由j系绕O点转动后的结果；同理，如果以i系为参考系，j系是由i系绕O点转动后的结果.,i相对j系的方向余弦矩阵,j相对i系的方向余弦矩阵,x y z,展开：,两矩阵之间的关系,它们是两个正交矩阵，即,矢量Q在不同空间中的表达和转换,假设在j系和i系的原点有一空间向量Q(见图3-3)。用Qi(Q，Q，Q)表示Q在i系中的位置，用Qj(Qx，Qy，Qz)表示Q在j系中的位置,则Qj可用Qi来表示为,三个分量在某轴上的投影之和,其中l1、m1、n1分别为j系的x轴与i系的、三个轴夹角的余弦值。其余类推。,矩阵形式：,图 3-3 i和j 坐标系,例3.1,例31 设在惯性空间有一固定不动的向量Q，在i系中的位置为ri(0，1，0)T当坐标系统轴转动90之后得到j系oxyz(见图3-4)求Q在j系中的位置rj。,图3-4,解：因为j系相对i系的方向余弦矩阵,图3-5,例3.2,例32 在上例中，若Q与j系固连，当j系从与i系重合状态绕轴正向转动90后，求Q在i系中的位置ri(见图3-5)。,解：因Q与j系固连，所以 rj(0，1，0)T由上例已知，j系绕轴正向转动90之后，,也意味着i系绕x轴负向转动90，即,分析结论,由上面的例子可以看出，刚体作定点转动时，如果我们在定点O建立两个坐标系:一个为惯性参考系即定参考系，以下简称定系；另一个为与刚体固连的坐标，即动坐标系，以下简称动系，那么刚体的空间位置可以通过两个坐标之间的方向余弦矩阵来描述。由于方向余弦矩阵9个元素中只有3个是独立的，因此，刚体定点转动具有3个自由度。,图3-6 定点转动的刚体坐标系,(2)连续转动的合成,根据前面的讨论，刚体的每次转动都可以用后次相对前次的坐标变换即方向余弦来描述，那么多次转动的合成如何用方向余弦矩阵来描述？,用Q表示刚体，假设开始时动系oxyz与定系o重合，刚体第一次转动之后动系为ox1y1z1(1系)，第二次转动之后动系为ox2y2z2(2系)，Q相对定系为ro，相对1系为r1；相对2系为r2，1系相对定系、2系相对1系的方向余弦矩阵分别为1A0和2A1，,图3-7 刚体的连续转动,连续转动矩阵,2A0表示2系相对定系的空间关系，0A2表示定系相对2系的空间关系。,由此可见，若把刚体(动系)的每次绕定点的有限转动视为动系的一次坐标变换，则刚体两次有限转动时，其合成转动的方向余弦矩阵为两次分转动的方向余弦矩阵的顺次乘积。多次转动也具有同样的变换规律。,例33,空间中一固定不动的向量Q，在定系o中为r0(0,1,0)T。动系0 xyz开始时与定系重合。第一次绕轴转90，得到动系ox1y1z1；第二次接着绕y1轴转90，得到动系ox2y2z2。求合成转动的方向余弦矩阵2A0，并求Q在ox2y2z2中的位置(见图3-8)。,图3-8,例3.3 解：,由两次给定的转动，可以求得ox1y1z1系相对定系和ox2y2z2系相对ox1y1z1系的方向余弦矩阵分别为,Q在ox2y2z2中得位置r2,需要强调的是，刚体连续转动时，其方向余弦矩阵的合成与转动的顺序是有关的。也就是说，在一般情况下，顺序是不可交换的，即 B1B2B2Bl,三次连续转动,假设：第一次绕x轴转过角，第二次绕y1轴转过角，第三次绕z2轴转过角,每次动系相对前一次动系的变换矩阵：,考虑更一般的情况，具有固定点的刚体作三次连续转动,三次合成的结果A,角度(如角)的正弦和余弦记为s和c,绕动系坐标轴转动的三次合成,以上讨论的三次转动都是绕动系的当时坐标轴即“体轴”进行的。如果转动是绕定系的坐标轴即参考轴进行的，结果会是什么样的呢?,绕静系坐标轴转动的二次合成,绕静系坐标轴转动的二次合成,为了使讨论简单又能得到明确的结论，仅考虑两次对应的转动，即动系第一次绕轴转过角，第二次绕轴转过角。假使这两次转动后动系对定系的方向余弦矩阵分别用A1、A2表示。,显然有,因为x轴与轴重合,然而,所以,但是，利用有限转动的交换定理，即所谓相对变换，则有,有限转动的交换定理,也就是说，动系先绕定系轴转过角，再绕定系轴转过角，其结果与动系先绕x轴转过角，再绕y1轴转过角所得最终动系相对定系的位置是相同的，见图3-11。,(3)角速度,由前面的讨论可以看到，刚体作定点转动时，如果坐标系之间的方向余弦矩阵是时间的函数，亦即AA(t)，那么，可以用A及其导数描述刚体定点转动的运动学规律。,将上式对时间微分，有,由于r1是常矢量，故,假设Q是位于定点转动的刚体上的、由定点发出的一个向量，那么在转动过程中，Q相对于刚体固连的动系就是一个常矢量。用r0表示Q在定系中的位置，用r1表示Q在动系中的位置，按(3.29)和(3.210)式有,(3224),刚体角速度在动系中的投影,式实际反映了相对定系和动系的空间向量之间的关系，当然，相对定系和动系的速度向量也应具备这样的关系，即,式中，表示刚体即Q在惯性系中的角速度；表示刚体即Q的角速度在动系中的投影。比较(3225)和(3224)两式，可得,(3225),上式用矩阵：,(3.2.28),泊松方程,(3231),式中，分别为动系相对定系各轴之间夹角的余弦值。(3231)式为泊松方程的矩阵形式，它是一个运动学方程。因为它是线性微分方程并对称，所以便于求解。,上式可改写为,322 刚体定点转动的欧拉角描述,如前所述，刚体定点转动具有3个自由度，用方向余弦矩阵描述时须要9个变量。如果采用3个互相独立的角度欧拉角来描述刚体的方位则变量只有3个。,设o为定参考系，oxyz为与刚体固连的动坐标系。欧拉角的规定是：初始状态两个坐标系重合，将刚体先绕oz轴转过 角，再绕新的x轴转过角，最后再绕新的oz轴转一个角。统称为欧拉角，其中，称为进动角，称为章动角，称为自转角。,欧拉转动的方向余弦矩阵,在一定的条件下，刚体的任一方位均可用一组欧拉角唯一地确定。,若用A1、A2、A3分别表示每次转动的动系相对该次转动前的动系的方向余弦矩阵，则三次转动后刚体相对转动前(定系)的方向余弦矩阵A为 AA3A2A1(3.2.32),(3.2.34),欧拉角的角度解（1）,如果刚体定点转动的三个欧拉角已知，由上式很容易求得总的坐标变换矩阵A。反之，如果已知刚体最终状态相对最初状态的空间关系A，也可以求出相应的三个欧拉角。,设 A(lij)(i，j1，2，3)(3.2.35)对照(3.2.35)与(3234)两式，当l331时，有,这里，规定。这样，由A中的(3，2)元素可得,(3.2.37),(3.2.39),欧拉角的角度解（2）,同理再令(3.2.40)则(3.2.41),当l33=土1，即0或时，求 和 将发生困难。因为0或时，两坐标平面(xoy平面)重合，我们只能得到 与 的和。这是采用欧拉角描述刚体定点转动所固有的缺点。,所得到的角度解不会是唯一的。,欧拉运动学方程,用欧拉角描述刚体定点转动时，欧拉角同样也是时间的函数，即,根据欧拉定理，刚体绕相交轴转动合成时，角速度的合成服从向量加法。因此，刚体的角速度为,(3.2.42),在动系oxyz上投影，可得,上式就是欧拉运动学方程。,(3244)？,(3243),三次欧拉转动角速度,如果要确定三次欧拉转动角速度，由(3244)式得到,这是一组关于欧拉角的十分复杂的非线性方程组，只能借助于计算机求数值解。而且，当0时，求 和 是不存在的，于是出现了所谓的“奇点”。这从(3.2.45)式也可看出，当0时，该等式右边第一个矩阵不可逆，所以；和 是无法确定的。,(3246),刚体角速度在定系上的分量,如果将刚体角速度 在定系 上投影，可得关系,(3.2.47),(3.2.48),3.2.3 刚体定点转动的广义欧拉角描述,所谓广义欧拉角，即仍然采用三个独立的角变量表示刚体的方位，只是绕不同的坐标轴转动的顺序不同而已,进动角、章动角和自转角的定义取自天体力学，其转动顺序为3-1-3型，即其转轴为Z，X，Z，也可以是3-2-3型，即转轴为Z，Y，Z。不管采用那种顺序，三个转角是互相独立的。,常见的广义欧拉角有卡尔丹角(布莱恩特角)与姿态角。卡尔丹角在陀螺仪中有明确的定义 姿态角多用于表示船舶、飞机、火箭等载体的方位。,图3-13 刚体定点转动的卡尔丹角,刚体定点转动的卡尔丹角描述,卡尔丹角是这样规定的：开始时，与刚体固连的动坐标系oxyz与定系o重合，刚体先绕x轴转动角；接着绕当前的y轴转动角，最后再绕当前的z轴转动角。因此，其转动顺序为123型。,优点：用这一组角来处理刚体定点转动时,对于x轴与轴十分靠近的情况很方便。这时，不但不发生“奇点”，而且、均为小量时，运动学方程式可以进行线性化处理。,刚体定点转动的姿态角描述,图3-15 姿态角,采用的三次顺序转动：12 3型即绕铅垂的的航向角 绕横轴的俯仰角 和绕纵轴的的倾斜角其运动学分析与卡尔丹角一样,卡尔丹角在陀螺仪中的定义,图3-14 卡尔丹角,若把陀螺转子视为绕定点o转动的刚体,为外卡尔丹环相对基座的转角，称为外环转角;为内卡尔丹环相对外卡尔丹环的转角，称为内环转角；为陀螺转子相对内卡尔丹环的转角，称为自转角。可见，各角的变化互不影响各自独立。,卡尔丹转动的方向余弦矩阵,按照卡尔丹角所规定的转动顺序，若用A1、A2、A3分别表示每次转动的动系相对该次转动前的动系的方向余弦矩阵，则三次转动后刚体相对转动前(定系)的方向余弦矩阵A为 AA3A2A1(3.2.49),运动学方程,用卡尔丹角描述刚体定点运动时，角速度的合成也同样服从向量加法，即,在动系oxyz上投影，可得,上式就是运动学方程,(3252),(3253),(3.2.51),三次卡尔丹转动角速度,例3.5（自学）,如图3-16，一长方块，设其上、下面均是边长为3的正方形，高为4。在C点沿棱边方向建立一直角坐标系C一e1e2e3，现该物块绕CD转动180。试分别用方向余弦、欧拉角和广义欧拉角求物块转动后，C一e1e2e3系的最终状态相对其最初状态的空间关系A。,图3-16,作业,P27 习题3-1，2，3,第三章结束,第4章 刚体定点转动的微分方程,41 刚体的质量几何 42 绕定点转动刚体的动量矩 43 刚体绕定点转动的运动微分方程,主要内容,41 刚体的质量几何,411 惯性张量,设a、b为矢量，那么，a与b的并矢积为一张量,若a、b为三个元素组成的一维矢量，则P有九个分量pij(i,j=1,2,3),且,矩阵形式为,惯性张量J是一个张量，它与刚体的运动无关，只决定于刚体上各点的质量相对于定点的分布的张量。,设x，y，z为以定点O为原点的笛卡尔直角坐标三个轴，惯性张量J的矩阵表达式为,惯性张量J的矩阵表达式,显见，J为一对称张量。,惯性矩或转动惯量,惯性积,图 4-1,惯性张量的矢量表达形式,设一刚体统定点O以角速度转动，m为刚体上任意一点，r为该点对定点的向径，G表示刚体对定点的动量矩，按动量矩的定义，有,将上式简记为,其中E为33的单位矩阵。,其矩阵表达式（称为惯性矩阵）为(4.1.9),图 4-1,刚体对定点O的惯性张量给定之后，便可求得刚体对通过O点的任意轴(设其单位向量为e)的惯性张量Je。,任意轴的惯性张量,其中d为m到e轴的距离。,如果设e与oxyz坐标系三个轴的夹角为、和，即 e=(cos，cos，cos)T,任意轴的惯性张量计算,分析结果：刚体的惯性张量与坐标系有关。下面进一步讨论它的计算和其它形式。,(4115),那么,图4-2,原点不在一起的坐标系的惯性张量之间的关系。,412移心与转轴,按惯性张量的定义，即(4.1.8)式，有,设某刚体上有两点O和P，该刚体对这两点的惯性张量分别为Jo和Jp。对于刚体上任一点m，存在下面的矢量关系,(4116),若P点恰好位于刚体的质心C，则上式可以简化为,惯性张量的移心公式,这里，因为mr=0且记Mm。,(41.18)式称为惯性张量的移心公式。等式右边包含两部分，一是刚体对质心C的惯性张量；另一部分是将刚体的全部质量假想地集中在质心时，刚体对O点的惯性张量。,(41.18),如果通过O、C点作相互平行的直角坐标系，可得到(4118)式的分解式为,惯性张量移轴公式,其中，a、b、c分别为通过O、C两点的两平行坐标系的x、y、z轴之间的距离，而sx，sy，sz为C对O点的矢径s在O点坐标系三个轴的投影。(41.19)式又称为移轴公式。,(41.19),对上式的分析,(1)刚体对于任意轴的转动惯量等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体总的质量与两平行轴之间距离平方的乘积。(2)刚体对通过质心轴的转动惯量与对不通过质心各平行轴的转动惯量相比具有极小值。(3)如果将质心坐标系的原点沿坐标轴由质心移到另一点，则三个惯性积均不改变；如果新的坐标系原点位于质心坐标系的坐标平面上，则仅改变一个惯性积。,对移轴公式的分析,对于在同一原点的不同的坐标系，惯性张量自然也具有不同的分量。,惯性张量的转轴公式,由(4113)式可推得它们之间的关系应满足 JATJA(4120),设以定点O为原点存在坐标系oxyz和oxyzJ和J分别表示刚体对这两个坐标系的惯性张量。,这就是转轴公式，式中，A为oxyz对oxyz的方向余弦矩阵。,这说明，对于以刚体上的定点为原点的所有直角坐标系中，总存在一个坐标系，对于该系，刚体的惯性积为零。也就是说，该坐标系的三个轴为惯性主轴，对应的轴惯矩Jxx,Jyy,Jzz，称为主惯矩，相应的，该坐标系称为主轴坐标系。实际上，主惯矩就是惯性张量J 的特征值。,对转轴公式的分析,因为A是一个正交矩阵，而惯性张量J为一实对称矩阵，因此，我们总可以找到一个正交矩阵A使得JA-1JA成立，且J为一对角矩阵，即有,(41.21),图4-3为一总质量为M，边长为a、b的均质矩形板，求其相对于固连其上的坐标系oe1e2e3的惯性张量。当ab时,求正方形板在o点的惯性主轴和主惯矩。,例41,解：在矩形板质心c作一坐标系c-n1n2n3与坐标系o一e1e2e3平行。由理论力学我们已经知道,c-n1n2n3为主轴坐标系，而且有,图 4-3,利用移心公式(4.1.18)来求矩形板对o一e1e2e3系的惯性张量J。c在o一e1e2e3中的向径为s=(a2 b2 0),于是,求矩形板的惯性张量,当a=b时，简化可得,求矩形板对O点的主惯性矩,由惯性主轴组成的矩阵为,动量矩G的定义,42 绕定点转动刚体的动量矩,可以看出，这是一个以固定点o为中心的椭球，称之为动量矩椭球。三个半轴的长分别为GJxx，GJyy和GJzz.,展开后可得到其坐标分量,如xyz为主轴坐标系，则含惯性积的项均为零。这时，可得,设某刚体绕固定点O转动，所受外力对O点的矩为L，由动量矩定理，有,43 刚体绕定点转动的运动微分方程,由上一节知道，G=J。为刚体角速度，是个变量，如果J也是个变量，动量矩的求导将变得复杂。例如，刚体的惯性张量J 对于设在定点的惯性参考系即定系来讲通常是个变量。简化方法：我们将J用固连于刚体的动坐标系表示，对于动系来讲，J是一个常张量。如果我们进一步取动系的三个坐标轴为刚体的三个惯性主轴，问题将更加简单。,简化后的动量矩及其导数,将G对时间求导，Jxx，Jyy，Jzz为常量，而i，j，k则是时间的函数。此时G的微商可以分为两部分，即,等式右边第一部分称为定位微商，用 表示,x，y，z为动系三个轴,i，j，k分别为这三个轴的单位向量,定位微商和单位向量导数,第二部分可以写作,欧拉动力学方程,可以简记为,须要强调的是，使用上式时，x，y，z为刚体的三个惯性主轴并构成固连于刚体的动系。,矩阵表达式为,展开成投影形式,这是刚体定点转动的动力学方程，它由欧拉首先得到，故称之为欧拉动力学方程。,变形的欧拉动力学方程,在前面推导欧拉动力学方程时，所设立的动坐标系是与刚体固连的。但是，对于某些具体问题，为了使解题更加方便，我们可以选取另外的动坐标系，该动系并不与刚体固连，但要保证刚体的惯性张量J在该动系中是个常张量。如果设该动系的角速度为，按前面相同的方法可以推得动力学方程，称之为变形的欧拉动力学方程,表示刚体角速度对新的动坐标系的相对导数；,这里，仍然表示刚体的角速度。,动力学两个基本问题的求解,1.已知运动,求力(IDP),动力学的两个基本问题：,2.或已知力,求运动（FDP)。,求旋转对称刚体作规则进动时的外力矩。所谓旋转对称刚体即有旋转对称轴的刚体，简单的如圆柱体、正圆锥体等采用欧拉角描述刚体的方位，若运动中始终存在 常量，=常量和 常量，则刚体的运动称为规则进动。,例42(变形的欧拉动力学方程应用),定点转动刚体的新动系,解；在定点O建立一新的动坐标系onmp，其中p轴为刚体的旋转对称轴。该坐标系与和刚体固连的动坐标系的区别在于新动系不参与刚体的自转，即不参与 运动。,由于p是旋转对称轴，因此n、m、p都是刚体的惯性主轴，且保证刚体对onmp坐标系的惯性张量是常张量,例42 续,这里，、分别表示刚体和新动系onmp相对定坐标系o的角速度，也就是有,例42 续,将它们代入(4314)式得到,可见旋转对称刚体作规则进动时，外力矩仅沿n轴方向。,在规则进动情况下，在坐标系onmp上的投影均为常量,图45为一作纯滚动研磨机转子示意图。若主轴OA的转动角速度为一常值，转子的半径为r，试确定转子对磨盘的压力。,例43,解：研磨机转子为一旋转对称刚体，在定点O建立动坐标系onmp，其中p沿转子旋转对称轴，m始终向上，因此该动系并不参与转子的自转，但其三个坐标轴为惯性主轴并保证了转子对该动系的惯性张量为常张量。,图4-5 研磨机示意图,p,m,研磨机转子的运动,若采用欧拉角描述转子的方位，由坐标系的关系可以得到,又转子作纯滚动，B点的速度为零，即有,故,可见，研磨机转子作的是规则进动。,由上例的结论可知，转子所受外力矩仅沿n轴方向,转子给磨盘的压力F,该外力矩由磨盘对转子的约束反力F提供，即,根据作用与反作用定律，转子给磨盘的压力F与F大小相等，方向相反，由此可知，该压力与主轴角速度的平方成正比,作业,P39 习题4-1，2，4,第四章结束,第5章 ADAMS软件基本操作,ADAMS简介：(Automatic Dynamic Analysis of Mechanlcal Systems)是美国MDI公司(Mechanical Dynamics lnc)开发的非常著名的虚拟样机分析软件。包括3个最基本的解题程序模块：,ADAMS/View(基本环境)ADAMSSolver(求解器)和ADAMS/PostProcessor(后处理)。另外还有一些特殊场合应用的附加程序模块。,附加程序模块,ADAMSCar(轿车模块)、ADAMSRail(机车模块)、ADAMSDriver(驾驶员模块)、ADAMS/Tire(轮胎模块)、ADAMS/Linear(线性模块)、ADAMSFLex(柔性模块)、ADAMSContro1s(控制模块)、ADAMSFEA(有限元模块)、ADAMSHydralics(液压模块)、ADAMS/Exchange(接口模块)、Mechanism/Pro(与ProEngineer的接口模块)、ADAMSAnimation(高速动画模块)等。,自ADAMS9.0版本开始ADAMSView采用了Windows风格的操作界面和各种操作习惯，使得ADAMSView9.0版以后的程序操作界面非常友好。,ADAMS/View程序模块,ADAMS/View提供了一个直接面向用户的基本操作对话环境和虚拟样机分析的前处理功能，其中包括：,样机的建模和各种建模工具、样机模型数据的输入与编辑、与求解器和后处理等程序的自动连接、虚拟样机分析参数的设置、各种数据的输入和输出、同其它应用程序的接口等。,ADAMS/Solver程序模块,ADAMSSo1ver是求解机械系统运动