曲线积分习题.ppt

曲线积分 习题课,一、主要内容,曲线积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,性质,计算公式,曲线积分,（二）各种积分之间的联系,曲线积分,定积分,计算,重积分,Green公式,计算,曲面积分,Guass公式,计算,Stokes公式,积分概念的联系,定积分,二重积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,曲面积分,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,（三）场论初步,梯度,通量,散度,环流量,旋度,关于对称性,对弧长的曲线积分与方向无关，,可以利用对称性,简化计算,设L 关于 x(y)轴对称,若 f(x,y)关于 y(x)是奇函数,即,则,若 f(x,y)关于 y(x)是偶函数,即,则,对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性。,其中L1 是位于对称轴一侧的部分,关于第二类曲线积分的计算,若曲线封闭，首先考虑使用Green公式,若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用Green公式,此时应注意两点：辅助线上的积分应容易计算，辅助线的方向与曲线的方向相容，,化成第一类曲线积分计算,按第二类曲线积分的计算公式直接计算,二、典型例题,例1 计算,所围成的在第三象限的扇形的整个边界,解,如图,L1,L1,L2,L2,L3,L3,L=L1+L2+L3,解,解,(如下图),其中L为,不包围也不通过原点的任意闭曲线,以原点为中心的正向单位圆周,包围原点的任意正向闭曲线,解,若,则由Green公式,例4 计算,若,则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周,记L和 所为成的区域为D1，由Green公式,L,在原点不连续，,记L和 所为成的区域为D1，由Green公式,以原点为心，作一半径充分小的正向圆周,由于 L 所围区域包含原点,解,令,得,由,C(1,2),则,积分结果不易求出,D(0,1),则,