平面简谐波波洞葱炉方程.ppt
5-2 平面简谐波 波动方程,波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。,平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位沿传播方向依次落后，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。,平面简谐波,1.平面简谐波的波动表式,平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点。O点处质点的振动表式为,平面简谐波的波动表式,考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点的位移就是O 点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于O点，其相位差为 t。,P点处质点在时刻t 的位移为：,因,波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。,利用关系式 和，得,其中,平面简谐波的波动表式,波动表式的意义：,上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率w 作简谐运动。,即,x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。,t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。,平面简谐波的波动表式,即,以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。,平面简谐波的波动表式,沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：,x、t 都变化。,实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形,Dx=u t,波的传播,平面简谐波的波动表式,当t=t1时，,当t=t1+t时，,在t1和t1+t时刻，对应的位移用x(1)和x(2)表示，则,平面简谐波的波动表式,令x(2)=x(1)+ut，得,在t 时间内,整个波形向波的传播方向移动了x=x(2)-x(1)=ut，波速u 是整个波形向前传播的速度。,波速u 有时也称相速度。,平面简谐波的波动表式,沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式,O 点简谐运动方程：,P 点的运动方程为：,平面简谐波的波动表式,2.波动过程中质点的振动速度和加速度,对 求t 的偏导数,得到,任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。,速度,加速度,例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为Y=1.91011N/m2，棒的密度=7.6103kg/m3。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A=0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。,解 棒中的波速,波长,波动方程的推导,周期,(1)原点处质点的振动表式,y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m,=0.110-3cos25103t m,(2)波动表式,式中x 以m计，t 以s 计。,(3)离原点10cm处质点的振动表式,波动方程的推导,可见此点的振动相位比原点落后，相位差为，或落后，即210-5s。,(4)该两点间的距离，相应的相位差为,(5)t=0.0021s时的波形为,式中x以m计。,波动方程的推导,5-3 波的能量 能流,弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。,1.波的能量,考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V)。当波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能Wp。,平面简谐波,可以证明,波的能量,体积元的总机械能W,对单个谐振子,在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。,波的能量密度：介质中单位体积的波动能量。,通常取能量密度在一个周期内的平均值,2.波动能量的推导,位于x 处的体积元ab 的动能为,体积元ab 的振速,波动能量的推导,体积元ab 的胁变,据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为,体积元弹性势能,由V=Sx,，结合波动表达式,最后得：,若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的 和 f 分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量G 代替杨氏模量Y，可得到同样的结果。,波动能量的推导,3.波的强度,能流 在介质中垂直于波速方向取一面积S，在单位时间内通过S 的能量。,平均能流：,平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用I 来表示，即,波的强度,其中介质的特性阻抗。,I 的单位：瓦特/米2(W.m-2),平面余弦行波振幅不变的意义:,若，有。,对于球面波，介质不吸收能量,时，通过两个球面的总能流相等,球面波表达式：,式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。,波的强度,例题 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的振幅。,解 因，所以,可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。,波的强度,
