平均指标-2几何平均、众数、中位数.ppt

是N项变量值连乘积的开N次方根,用于计算现象的平均比率或平均速度,各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。,应用的前提条件：,几何平均数,第二节 平均指标,在实际工作中，常用,即几何平均数是各个变量值对数的算术平均数的反对数。,式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第 个变量值。,几何平均数,第二节 平均指标,四、几何平均数一）、几何平均数几何平均数一般用于计算动态相对指标的平均值例：2000-2005年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。,第二节 平均指标,【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。,设最初投产100个单位，则第一道工序的合格品为1000.95；第二道工序的合格品为（1000.95）0.92；第五道工序的合格品为 1000.950.920.900.850.80；,A.简单几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为:1000.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,A.简单几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,思考：若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。,A.简单几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：1000.95；第二车间的合格品为：1000.92；第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=1000.95+1000.80,A.简单几何平均数,几何平均数,不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。,第二节 平均指标,又因为,应采用加权算术平均数公式计算，即,A.简单几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,B.加权几何平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况当各个变量值的次数（权数）不相同时，应采用加权几何平均数，其计算公式为:,几何平均数,第二节 平均指标,将公式两边取对数，则为,式中：为几何平均数;为第 组的次数；为组数；为第 组的标志值或组中值。,【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。,设本金为V，则至各年末的本利和应为：,第1年末的本利和为：,第12年的计息基础,第12年末的本利和为：,B.加权几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,则该笔本金12年总的本利率为：,即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。,B.加权几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。,第1年末的应得利息为：,第2年末的应得利息为：,第12年末的应得利息为：,B.加权几何平均数,几何平均数,第二节 平均指标,则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151）,这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为,假定本金为V,B.加权几何平均数,几何平均数,所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：,第二节 平均指标,四、几何平均数一）、几何平均数（二）加权几何平均数例：某投资银行25年的年利率分别是：有1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。（先学生练习-复利计息）,第二节 平均指标,四、几何平均数一）、几何平均数几何平均数的特点：1、如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算；几何平均数2、受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，故较稳健。,第二节 平均指标,设x取值为：、10,第二节 平均指标,四、几何平均数二）、数值平均数的推广幂平均数（选）k=1时，是算术平均Ak趋于0时，趋于几何平均G；k=-1时，是调和平均H。M(k)是k的递增函数，因此，,第二节 平均指标,四、几何平均数二）、数值平均数的推广幂平均数：正确选用数值平均数：几何平均数适合动态指标：平均发展速度、平均增长率等；其他情况一般用算术平均数或调和平均数：分母资料已知用算术平均数；分子资料已知用调和平均数；用错平均数会产生误差：,第二节 平均指标,某水果店的苹果有三种等级，价格不同（见下表），要求分别计算各买一元和各买一斤的平均价格；假设某人共买12斤，其中二、三等级各占30%，试求苹果的平均价格又为多少？,第二节 平均指标,课堂练习,（1）各买1元：H=3/(1/1+1/0.8+1/0.6)=0.77元/斤（2）各买1斤：均价=(1*1+1*0.8+1*0.6)/3=0.80元/斤（3）共买12斤，其中二、三等级各占30%均价=1*0.4+0.8*0.3+0.6*0.3=0.82元/斤,第二节 平均指标,课堂练习,某地甲乙两个蔬菜市场某月份白菜的销售价格及其销售额资料如下：试分别计算这两个市场某月白菜的平均销售价格，哪一个市场白菜的平均价格较高？为什么？,第二节 平均指标,课堂练习,甲市场平均销售价格=（130000+60000+55000）/（130000/0.65+60000/0.6+55000/0.55)=245000/400000=0.6125=0.61(元/斤)乙市场平均销售价格=（65000+60000+11000）/（65000/0.65+60000/0.6+11000/0.55)=136000/220000=0.6182=0.62(元/斤)乙市场均价高于甲市场，因为一等品的比例更高,第二节 平均指标,课堂练习,某商店某商品销售情况如下表，试用简单算术平均数、加权算术平均数、加权调和平均数等不同方法来计算该商品的平均价格，说明三种计算结果一致的原因。,第二节 平均指标,课堂练习,简单算术平均值=(1.1+0.9+0.7)/3=0.9元/斤加权算术平均值=(10001.1+5000.9+10000.7)/(1000+500+1000)=0.9元/斤加权调和平均值=（1100+450+700）/(1100/1.1+450/0.9+700/0.7)=0.9元/斤算术与调和平均本应相等；加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销售量相同，且二者简单平均与优待价相等。,第二节 平均指标,课堂练习,加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销售量相同，且二者简单平均与优待价相等。,第二节 平均指标,课堂练习,五、位置平均数：中位数和众数一）中位数（一）中位数：现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数。记为（二）中位数的计算方法1、由未分组资料确定中位数。若总体单位数是奇数，则居于中间位置的那个单位的标志值就是中位数。若总体单位数是偶数，则居于中间位置的两项数值的算术平均数是中位数。,第二节 平均指标,不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。,中位数的作用：,如果统计资料中含有异常的或极端的数据，就有可能得到非典型的甚至可能产生误导的平均数，这时使用中位数来度量集中趋势比较合适。,中位数,第二节 平均指标,五、中位数和众数1、由未分组资料确定中位数。【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9,第二节 平均指标,中位数 1080,五、中位数和众数1、由未分组资料确定中位数。【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,第二节 平均指标,中位数的位次为：,即第3个单位的标志值就是中位数,【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则,中位数确定未分组资料,第二节 平均指标,中位数的位次为：,中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即,【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则,中位数确定未分组资料,第二节 平均指标,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法2、由单项数列确定中位数。求中位数位置=计算各组的累计次数(向上累计次数或向下累计次数)根据中位数位置找出中位数。,第二节 平均指标,【例】某厂工人日产零件中位数计算表 按日产零件分组 工人数 向上累计次数 向下累计次数（件）（人）26 3 3 80 31 10 13 77 32 14 27 67 34 27 54 53 36 18 72 26 41 8 80 8 合计 80-,第二节 平均指标,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法2、由单项数列确定中位数。,见教材P105表3-17,【例C】某企业某日工人的日产量资料如下（选）,计算该企业该日全部工人日产量的中位数。,中位数的位次,中位数确定单项数列,第二节 平均指标,3、由组距数列确定中位数。先按 的公式求出中位数所在组的位置，然后再用比例插值法确定中位数的值。下限公式（向上累计时用）：上限公式（向下累计时用）：,第二节 平均指标,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法,见教材P106,第二节 平均指标,下限公式（向上累计时用）,上限公式（向下累计时用）,共 个单位,共 个单位,共 个单位,共 个单位,L,U,中位数组,组距为d,共 个单位,假定该组内的单位呈均匀分布,中位数下限公式为,第二节 平均指标,公式的理解,3、由组距数列确定中位数。下限公式（向上累计时用）：上限公式（向上累计时用）：,第二节 平均指标,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法,公式的理解,3、由组距数列确定中位数。上限公式（向下累计时用）：下限公式（向下累计时用）：,第二节 平均指标,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法,公式的理解,3、由组距数列确定中位数。向上累计上、下限公式等价性：向上、下累计上限公式等价性：,第二节 平均指标,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法,公式的理解,【例】某企业工人日产量的中位数计算表 按日产量分组 工人数 向上累计次数 向下累计次数（千克）（人）60以下 10 10 164 60-70 19 29 154 70-80 50 79 135 80-90 36 115 85 90-100 27 142 49 100-110 14 156 22 110以上 8 164 8 合计 164-,第二节 平均指标,164/2=82中位数所在组,164/2=82中位数所在组,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法3、由组距数列确定中位数。,见教材P106表3-178,第二节 平均指标,解：中位数位置=,在8090这一组内，根据向上累计下限公式计算中位数：根据向下累计上限公式计算中位数：,五、中位数和众数（二）中位数的计算方法3、由组距数列确定中位数。,中位数的特点：1、是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。2、各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。3、对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象（定序尺度），可用中位数求其一般水平。,第二节 平均指标,五、中位数和众数,分位数：（补充（选）N分位数：现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，将数据分成N等分的N-1个标志值就是N分位数。中位数是二分位数；常见的分位数还有四分位数、八分位数；另外还有十分位数、百分位数等；N2时，需注明是第几个N分位数；,第二节 平均指标,五、中位数和众数,第二节 平均指标,课堂练习（）中位数 A、是总体中最常见的标志值 B、是处于一个序列中间位置的标志值 C、是一个位置平均数 D、是一般水平的代表值 E、易受变量极端值的影响,B,C,D,五、中位数和众数二）众数：众数是分配数列中出现次数最多的标志值，它表示社会经济现象中最经常最普遍出现的标志值，能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而是两个，那么，合起来就是复众数。注：众数存在的条件是总体的单位数较多，各标志值的次数分配又有明显的集中趋势时才存在众数。,第二节 平均指标,指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。,众数,比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。此时众数合适的代表值。（如皮鞋销售中40码出现的次数最多，则40就是众数）,第二节 平均指标,众数的计算方法1、单项数列:出现次数最多的标志值就是众数。,第二节 平均指标,五、中位数和众数 二）众数：,众数,【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:,计算该企业该日全部工人日产量的众数。,众数确定单项数列,第二节 平均指标,众数为12,众数的计算方法2、组距数列确定众数的方法观察次数+插值法。首先由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法推算众数的近似值。其上、下限计算公式依次为,第二节 平均指标,五、中位数和众数 二）众数：,第二节 平均指标,下限公式：,上限公式：,众数的计算方法：下限公式：上限公式：,第二节 平均指标,五、中位数和众数 二）众数：,【例】某企业工人日产量次数分布 按日产量分组(千克)工人数(人)60以下 10 60-70 19 70-80 50 80-90 36 90-100 27 100-110 14 110以上 8,第二节 平均指标,五、中位数和众数 二）众数：,众数组（最多次数组）,【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的众数。,众数确定组距数列,第二节 平均指标,组距数列的众数M0，一定位于次数分配直方图中最高一组的组距内的某个值，该值就是分布曲线最高峰的横坐标值，又称峰值。众数的特点：1、众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值和开口数组列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性；2、众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。,第二节 平均指标,五、中位数和众数 二）众数：,当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。,众数的原理及应用,第二节 平均指标,出生,1981.0,1980.0,1979.0,1978.0,1977.0,1976.0,1975.0,160,140,120,100,80,60,40,20,0,413名学生出生时间分布直方图,没有突出地集中在某个年份,众数的原理及应用,第二节 平均指标,413名学生的身高分布直方图,出现了两个明显的分布中心,众数的原理及应用,第二节 平均指标,应用平均指标应注意的问题,注意现象总体的同质性总平均数与组平均数结合使用注意极端值的影响用分配数列补充说明平均数,第二节 平均指标,课堂练习（）众数是 A、总体中出现次数最多的标志值 B、处于一个序列中间位置的标志值 C、当各个标志值的次数相等时不存在 D、当各个标志的次数相等时为零 E、不易受变量极端值的影响,A,C,E,课堂练习某地区水稻播种面积按亩产量分组如下，计算亩产量的中位数和众数。,第二节 平均指标,众数组（最多次数组）,第二节 平均指标,课堂练习答案（1）众数,第二节 平均指标,课堂练习答案（2）中位数,三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系1、当总体分布成对称状态时，三者合而为一。,第二节 平均指标,五、中位数和众数,三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系,第二节 平均指标,五、中位数和众数 二）众数：,若 则说明分布右偏若 则说明分布左偏若 则说明分布对称 中位数总在中间，中位数与算术平均数的距离是众数与算术平均数的距离的三分之一。即：,第二节 平均指标,三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系,五、中位数和众数 二）众数：,当分布适度偏斜时，三者间的数量关系：另一方便记忆的一组公式：,第二节 平均指标,三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系,五、中位数和众数 二）众数：,当分布适度偏斜时，由两个平均指标可以估算另一个平均指标（见P110）,第二节 平均指标,三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系,五、中位数和众数 二）众数：,例：某班有近一半的学生身高不足1.65米，身高1.71米的学生最多，试估计该班学生平均身高为多少米？解：,第二节 平均指标,课堂练习（）平均指标的位置平均数有 A、调和平均数 B、几何平均数 C、中位数 D、众数（）某总体平均数为20，中位数为22，众数为26，则总体为 A、钟形对称分布 B、钟形分布左偏 C、钟形分布右偏 D、U形分布,C,D,B,第二节 平均指标,众数、中位数和均值的特点和应用1.众数不受极端值影响具有不唯一性数据分布偏斜程度较大时应用2.中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用3.均值易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用,第二节 平均指标,