学案5数列的应用.ppt

从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列有关的应用题.数列与函数、方程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的方面.,1.数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会.（1）数列是一种特殊的，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法.（2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为、数列或常见的特殊数列问题.,函数,等差,等比,（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的.（4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对 进行讨论；由Sn求an时，要对 进行分类讨论.2.数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型.,n=1或n2,公比,（1）建立数学模型时，应明确是 模型、模型，还是 模型，是求an还是求Sn.（2）数列综合应用题的解题步骤 审题弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.,递推数列,等差数列,等比数列,具体解题步骤如下框图:,3、数列应用题常见模型(1)银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=.(2)银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=.(3)产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=.(4)分期付款模型 a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则,a(1+xr),a(1+r)x,N(1+p)x,已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和.（1）求通项an及Sn;（2）设bn-an是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及前n项和Tn.,考点1 等差、等比数列的综合应用,【解析】（1）an是首项为a1=19,公差为d=-2的等差数列，an=19-2(n-1)=21-2n,Sn=19n+n(n-1)(-2)=20n-n2.（2）由题意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1,bn=3n-1-2n+21,Tn=Sn+(1+3+3n-1)=-n2+20n+.,【分析】在an中，因为a1,d已知，则an可求，Sn可求，而数列bn-an中，首项、公比已知，则通项可求，所以bn可求.,【评析】（1）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.（2）利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解.,已知正项数列an的前n项和为Sn，且 是 与(an+1)2的等比中项.（1）求证：数列an是等差数列；（2）若bn=，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.,【解析】（1）证明：由题知Sn=(an+1)2,当n=1时，a1=(a1+1)2,a1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2,(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an0,an-an-1-2=0.即当n2时，an-an-1=2.数列an是等差数列.,（2）由（1）知数列an是以1为首项，以2为公差的等差数列.an=1+(n-1)2=2n-1.bn=，则Tn=+,Tn=+,由-得,又,已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,nN*.（1）证明：an-1是等比数列；（2）求数列Sn的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由.,【分析】由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn，建立an与an-1的关系.,考点2 数列中的最值问题,【解析】(1)证明:Sn=n-5an-85,当n=1时,S1=1-5a1-85,即a1=1-5a1-85,解得a1=-14;当n2时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-(n-1)-5an-1-85=-5an+5an-1+1,整理得6an=5an-1+1,6(an-1)=5(an-1-1),.又a1-1=-15,数列an-1是以-15为首项,为公比的等比数列.,即又lg20.301 0,lg30.477 1,14.9.14.9k15.9.又kN*，k=15.即当n=15时，Sn取得最小值.,【评析】在数列中，若Sn与an关系已知，求通项用公式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，如本题中最小值的求法.,设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列 是公差为d的等差数列.(1)求数列an的通项公式(用n,d表示);(2)设c为实数,对满足m+n=3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式Sm+SncSk都成立,求证:c的最大值为.,【解析】(1)是等差数列,.又2a2=a1+a3,平方得3a1+a2=2,即=0,a2=3a1,d=,即=d,Sn=n2d2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,且对n=1成立,an=(2n-1)d2.,(2)证明:由Sm+SncSk得m2+n2ck2,即c,m+n=3k,=.2mnm2+n2(mn),c,c的最大值为.,考点3 数列在实际问题中的应用,假设某市2010年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不大于85%（参考数据：1.0841.47，1.0881.59）,【分析】（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：Sn=250n+50=25n2+225 4 750.(2)a10.85bn,bn=4001.08n-1.,【解析】（1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250，d=50，则an=250+（n-1）50=50n+200，Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.,到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08,则bn=400（1.08）n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400（1.08）n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.,【评析】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.,某地区原有木材存量为a，且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.（1）求an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于 a,如果b=a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg2=0.30)?,【解析】（1）解法一：设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,则a1=a（1+）-b=a-b,a2=a1-b=a-（+1）b,a3=a2-b=a-+1b,(nN*).,解法二：设第n年木材存量为an，则第n-1年存量为an-1(n2)，故an=an-1(1+)-b，即an=an-1-b(n2),所以an-4b=(an-1-4b)(n2),所以an-4b组成以a1-4b为首项,为公比的等比数列.所以an-4b=(a1-4b)()n-1,即an=4b+(a-5b)()n-1=()na-4 n-1 b(nN*).,（2）当b=a时，若an5,所以n 7.2.答：经过8年后该地区就开始水土流失.,考点4 数列与函数不等式的综合问题,【解析】,1.用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.2.如果是等差数列、等比数列，应明确a1,an,n,d,q,Sn这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推数列，应明确是Sn还是an或者是二者综合的，然后再确定要求解的量.,3.现实生活中涉及到银行利率、存款利息、企业股金、产品利润、人口增长、产值产量等问题，常常考虑用数列的知识加以解决.4.利息=本金利率存期，如果涉及到复利问题时，常用等比数列模型解决问题；涉及到分期付款问题时，由于一般采用复利计算利息的办法，所以也要借助等比数列模型解决.5.与几何问题有关的应用题需从问题实际出发，构建一个几何模型，结合几何性质建立模型求解.,1.解决数列综合问题应注意以下几点对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差（或等比）数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决相应问题.,2.数列实际应用问题数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.,祝同学们学习上天天有进步！,