大学高数课件-重要极限.ppt

2023/10/28,微积分-两个重要极限,1,上课,2023/10/28,微积分-两个重要极限,2,几何解释:,2.5 极限存在准则与两个重要极限,一、极限存在准则,(1)单调递增有上界；,1.单调有界准则,准则 单调有界数列必有极限.,注:根据准则只能判断极限存在,无法求出极限值.,(2)单调递减有下界.,2023/10/28,微积分-两个重要极限,3,证明,=,例1,2023/10/28,微积分-两个重要极限,4,又,2023/10/28,微积分-两个重要极限,5,例2,(1)证,(舍去),两边取极限得,并求极限值.,(2)解,2023/10/28,微积分-两个重要极限,6,证,2.夹逼准则,2023/10/28,微积分-两个重要极限,7,2)上述数列极限存在的准则可以推广到函数极限,注:1)条件（1）可放宽为：,准则 和准则 称为夹逼准则.,3),2023/10/28,微积分-两个重要极限,8,例3,解,由夹逼定理得,2023/10/28,微积分-两个重要极限,9,二、两个重要极限,1.,证,注:1.,2.,(图!),3.,2023/10/28,微积分-两个重要极限,11,例4,故有：,2023/10/28,微积分-两个重要极限,12,等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,2023/10/28,微积分-两个重要极限,13,常用等价无穷小:,(待证),2023/10/28,微积分-两个重要极限,14,例5,解,例6,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中的各无穷小不能分别替换.,注意,2023/10/28,微积分-两个重要极限,15,例7,错解,解,2023/10/28,微积分-两个重要极限,16,例8,解,例9,2023/10/28,微积分-两个重要极限,17,2.,数列情形已证,可推广至x+及x(P55),利用该重要极限解题时抓住特征：,2023/10/28,微积分-两个重要极限,18,例11,解,一般地：,例10,解,不要仿照教材解题步骤勿作变换!,=e k,=e2,=e1,2,1,2023/10/28,微积分-两个重要极限,19,例12,解 原式,例13,2,=e2,解 原式,2a,=e2a,2023/10/28,微积分-两个重要极限,20,例14,例15,解,解,2,=e2,2023/10/28,微积分-两个重要极限,21,本金A0，年利率r，连续复利,本利和作为新本金,重复计算利息),t年后本利和A?,1.先不考虑连续复利，只每年末结息:,满一年本利和,满两年本利和,满t年本利和,2.每年分n次记息,年利率仍为r,则每次结算利率,3.最后，连续复利:,三、连续复利问题(重要极限2的一个经济应用),(利息随时记入本金,t年共结算nt次，故满t年本利和:,22,这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为连续复利。类似于连续复利问题的数学模型在人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有很重要的实际意义。,例16 一机器原价值100000元，不断变旧，每年减少价值0.9，求其10年后的价值.,100000(1-0.9)10,未考虑连续复利,不科学.,中学做法:,解 A0=100000,r=0.9%,t=10.故10年后机器价值,2023/10/28,微积分-两个重要极限,23,(补证),证明:当,时,证:,2023/10/28,微积分-两个重要极限,25,小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则;单调有界准则.,3.经济应用,连续复利,年利率r,本金A0,t年后本利和A=,2023/10/28,微积分-两个重要极限,26,解答,思考题,求极限,2023/10/28,微积分-两个重要极限,27,作业：,完成 P6914(1);16(3)(4)(8)(9)(11)(13)(15)(16);17(5)(6)(10).11 做在书上.,故极限存在，,备用题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/28,微积分-两个重要极限,29,例,2023/10/28,微积分-两个重要极限,30,下课,