复变函数课件-复变函数6留数.ppt

课件,1,第五章 留数,1 孤立奇点,函数不解析的点为奇点.如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.,课件,2,将函数 f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.,可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤 立奇点z0称为 f(z)的可去奇点.,这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|d,则在圆域|z-z0|d 内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而函数 f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.,课件,3,课件,4,2.极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f(z)的m级极点.,上式也可写成,其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.,在|z-z0|d 内是解析的函数,且 g(z0)0.,反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为(*)的形式,且g(z0)0 时,则z0是 f(z)的m级极点.,课件,5,如果z0为 f(z)的极点,由(*)式,就有,3.本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.,课件,6,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,课件,7,4.函数的零点与极点的关系,不恒等于零的解析函数 f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)m j(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.,例如当 f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.,根据这个定义,我们可以得到以下结论:如 f(z)在z0解析,则z0是 f(z)的m级零点的充要条件是 f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.,课件,8,这是因为,如果 f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证 z0是 f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0,cm0,这等价于 f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0。,例如 z=1是f(z)=z3-1的零点,由于 f(1)=3z2|z=1=3 0,从而知 z=1是f(z)的一级零点.,由于f(z)=(z-z0)m j(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定,课件,9,所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,定理 如果 z0是 f(z)的m级极点,则z0就是 的m级零点,反过来也成立.,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,课件,10,例 2,课件,11,例 3,对 讨论函数 在 处的性态。,课件,12,5.函数在无穷远点的性态 如果函数 f(z)在无穷远点 z=的去心邻域 R|z|内解析,称点为 f(z)的孤立奇点.,又.这样,我们可把在去心邻域R|z|+对f(z)的研究变为在 内对j(w)的研究.显然j(w)在 内解析,所以w=0是孤立奇点.,课件,13,即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限 是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.,例题1,例题2,例题3,课件,14,2 留数,留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域D内 解析,那末根据柯西积分定理,但是,如果z0为 f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.,因此 f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|R,两端沿C逐项积分:,课件,15,称C-1为 f(z)在 z0 的留数,记作 Res f(z),z0,即,定理一(留数定理)设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,课件,16,证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有,注意定理中的条件要满足。例如,不能应用留数定理。,课件,17,求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可.但如果知道奇点的类型,对 求留数可能更有利.,如果 z0是 f(z)的可去奇点,则 Resf(z),z0=0.如果 z0 是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果 z0 是极点,则有一些对求 c-1有用的规则.,课件,18,2.留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点,则,规则2 如果z0为f(z)的m级极点,则,事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,课件,19,令两端 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,即得规则2,当 m=1时就是规则1。,课件,20,即得 规则3。,课件,21,由规则1,得,我们也可以用规则3来求留数:,这比用规则1要简单些.,课件,22,课件,23,课件,24,例 5,解：,所以 原式=,例 4,课件,25,3.在无穷远点的留数 设函数 f(z)在圆环域 R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,f(z)在圆环域 R|z|内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,课件,26,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.,课件,27,定理二 如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,课件,28,课件,29,所以规则4 成立.,课件,30,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.,例 6,课件,31,课件,32,证明：,