同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性.ppt

第五章 相似矩阵及二次型,1 向量的内积、长度及正交性,一、内积的定义及性质,二、向量的长度及性质,三、正交向量组的概念及求法,四、正交矩阵与正交变换,1.定义1,内积,一、内积的定义及性质,(Inner product),2.内积的运算性质,施瓦茨不等式,1.定义2,令,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,(norm),解,单位向量,夹角,2.,正交的概念,正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,(orthogonal),证明,正交向量组的性质,定理1,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.,向量空间的正交基,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基.,则有,解,规范正交基,例如,定义3,同理可知,求规范正交基的方法,下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method）,(2)单位化,取,(1)正交化,取，,解 先正交化，,取,施密特正交化过程,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,再把它们单位化，取,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,定义4,定理,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,性质 正交变换保持向量的长度不变.(还有P118),证明,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,例 判别下列矩阵是否为正交阵,所以它是正交矩阵,由于,