南大复变函数与积分变换课件版93拉普拉斯逆变换.ppt

9.3 Laplace 逆变换,一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式,1.公式推导,即,一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式,1.公式推导,推导,(3)将上式两边同乘 并由 有,一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式,2.反演积分公式,根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对:,二、求 Laplace 逆变换的方法,1.留数法,利用留数计算反演积分。,则,二、求 Laplace 逆变换的方法,2.查表法,此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。,利用 Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的 Laplace,变换来求逆变换。,大多数情况下，象函数 常常为(真)分式形式：,其中，P(s)和 Q(s)是实系数多项式。,由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法,很容易得到象原函数。,二、求 Laplace 逆变换的方法,2.查表法,几个常用的 Laplace 逆变换的性质,二、求 Laplace 逆变换的方法,2.查表法,几个常用函数的 Laplace 逆变换,解,方法二 利用留数法求解,(1)为 的一阶极点，,(2),(重根),(1),解,方法二 利用留数法求解,(1)分别为 的一阶与二阶极点，,(2),(1),(复根),令 得,令 得,2,解,(1),方法一 利用查表法求解,(2)由,得,解,方法二 利用留数法求解(略讲),(1)为 的一阶极点，,(2),方法二 利用留数法求解,分别为 的一阶与二阶极点，,解,方法三 利用卷积定理求解,方法四 利用积分性质求解,大时，可使 的所有奇点包含,当 R 充分,在 C 围成的区域内。,由留数定理有：,由若尔当引理(5.3),当 时，,即得,将上式两边同乘以 得,1.Q(s)含单重一阶因子的情况,则,2.Q(s)含多重一阶因子的情况,则,将上式两边同乘以 得,将实系数真分式 化为部分分式,附：,2.Q(s)含多重一阶因子的情况,将实系数真分式 化为部分分式,附：,将实系数真分式 化为部分分式,附：,但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。,即如果复数 为 的零点，那么它的共轭复数,也必为 的零点。,因此，必含有(实的),由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，,下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。,二阶因子,则,3.Q(s)含单重二阶因子的情况,将实系数真分式 化为部分分式,附：,3.Q(s)含单重二阶因子的情况,将实系数真分式 化为部分分式,附：,则,