南大复变函数与积分变换课件PPT版23初等函数.ppt

2.3 初等函数,复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们,两者是一样的。,2.3 初等函数,的定义方式尽可能保持一致。,本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：,映射关系等等。,定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性以及,特别是当自变量取实值时，,特别要注意与实初等函数的区别。,一、指数函数,记为 或,都通过指数函数来定义。,(2)借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：,一、指数函数,性质,(1)是单值函数。,事实上，对于给定的复数,定义中的 均为单值函数。,事实上，在无穷远点有,(2)除无穷远点外，处处有定义。,当 时，,当 时，,(3),因为,性质,事实上，由 有,(6)是以 为周期的周期函数。,事实上，,一、指数函数,(w),一、指数函数,(7)映射关系：,性质,二、对数函数,对数函数定义为指数函数的反函数。,记作,即,计算,令,二、对数函数,显然对数函数为多值函数。,主值(枝),记为,故有,分支(枝),特别地，当 时,的主值 就是实对数函数。,对于任意一个固定的 k，称 为 的,一个分支(枝)。,二、对数函数,性质,或者指数函数,由反函数求导法则可得,进一步有,(在集合意义下),二、对数函数,性质,主值,(2),主值,解,主值,可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。,三、幂函数,称为复变量 z 的幂函数。,还规定：当 a 为正实数，且 时，,但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，,?,即,讨论,此时，处处解析，且,此时，除原点外处处解析，且,三、幂函数,讨论,其中，m 与 n 为互质的整数，且,(5)当 为无理数或复数()时，,此时，除原点与负实轴外处处解析，,一般为无穷多值。,此时，除原点与负实轴外处处解析。,且,三、幂函数,解,解,可见，不要想当然地认为,四、三角函数,启示,由欧拉公式,有,余弦函数,正弦函数,定义,四、三角函数,性质,周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；,各种三角公式以及求导公式可以照搬；,有界性(即)不成立。,(略),五、反三角函数,记为,同理可得,六、双曲函数与反双曲函数,双曲正切函数,双曲余切函数,双曲余弦函数,六、双曲函数与反双曲函数,反双曲正切函数,反双曲余弦函数,反双曲余切函数,